Rappresentare il grafico della funzione: $$ f(x)=\left|\frac{3-2 x}{x-3}\right| $$
Verificare se negli intervalli $[0 ; 2]$ e $[4 ; 6]$ valgono le ipotesi del teorema di Lagrange, e in caso affermativo trovare i punti la cui esistenza è prevista dal teorema di Lagrange. Esiste un intervallo $[a ; b]$ in cui si possa applicare il teorema di Rolle? Giustificare la risposta. (Esame di Stato, Liceo scientifico, opzione Scienze applicate, Sessione suppletiva, 2017, quesito 4) $$ [c=3+\sqrt{3} ; \text { no }] $$
Nell'intervallo0 ≤ x ≤ 2 non valgono le ipotesi del teorema di Lagrange né del teorema di Rolle in quanto in corrispondenza del punto x=3/2 la funzione presenta discontinuità nella derivata prima.
Nell'intervallo 4 ≤ x ≤ 6 vale il teorema di Lagrange in quanto continua e definita in tutti i punti di tale intervallo ed in particolare agli estremi di esso.
In tale intervallo, si può fare riferimento all'iperbole equilatera (funzione omografica):
y = (2·x - 3)/(x - 3)
per cui è possibile riconoscere gli asintoti: x=3 verticale ed y=2 orizzontale.
Tale iperbole è decrescente sempre, per cui è possibile parlare solo del teorema di Lagrange.
Il segmento AB ha per estremi i punti: A(4,5) e B(6,3): tale segmento ha pendenza
m=(3 - 5)/(6 - 4) = -1 per cui è possibile determinare un punto interno a 4 < x < 6 per cui la derivata risulta pari a -1
y'= dy/dx= - 3/(x - 3)^2
Risolvi - 3/(x - 3)^2 = -1
ed ottieni: x = 3 - √3 ∨ x = √3 + 3
Per cui vale il risultato in grassetto (x = 4.732 circa)
Il teorema di Rolle non si può applicare in alcun intervallo preso a piacere nel dominio della funzione.
