Massimo e minimo, flesso orizzontale

Nell'intervallo dato non sono presenti flessi. Vi è un punto di min relativo ed assoluto.

y ' = - (COS(x) + SIN(x) + 1)/(SIN(x) + 1)^2

y '' = (SIN(x)·COS(x)^2 + COS(x)·(SIN(x) + 1)^2 + 2·(SIN(x) + 1))/(SIN(x) + 1)^4

$ y(x) = \frac{1+cos x}{1+sinx} $

Osservazioni preliminari:

• Il denominatore è positivo (ovviamente non può essere nullo)
• Il numeratore è maggiore o al più nullo
  • • è nullo solo per x = π
• Possiamo già affermare che si ha un minimo assoluto per x = π

Passiamo a una analisi più sistematica

⊳ Dominio = [0, 2π] \ {3π/2}

⊳ $ \displaystyle\lim_{x \to \frac{3π}{2}} y(x) = +\infty$

Questo significa che il sup y(x) = +\infty, in altre parole la funzione non ammette massimo assoluto.

Per scoprire gli eventuali massimi/minimi relativi oppure i flessi orizzontali determiniamo i punti stazionari

1. Derivata prima.

$ y'(x) = -\frac{sinx + cosx + 1} {(1+sinx)^2 } $

2. Punti stazionari. Ovvero y'(x) = 0

dopo qualche considerazione si arriva a

$ sinx + cosx + 1 = 0 $

Operiamo con l'angolo aggiunto φ.

$ \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{2} $ dalla quale deduciamo che 

• sin φ = \frac{\sqrt{2}}{2}
• cos φ = \frac{\sqrt{2}}{2}

per cui $φ = \frac{\pi}{4} $ nel dominio in esame. L'equazione si riduce all'equazione equivalente

$ sin(x+\frac{\pi}{4}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

L'equazione del seno ha due soluzioni

1. $ x+\frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \; ⇒ \; x = \pi $ dove è presente il minimo
2. $ x+\frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \; ⇒ \; x = \frac{3\pi}{2} $ dove non è definita.

Conclusione. Esiste un unico punto stazionario per x = π dove la funzione presenta un minimo relativo/assoluto.

Non vi sono ne flessi ne massimi.