Massimo e minimo aree e volumi.

1. Trovare i punti di intersezione tra la parabola e la retta
Per trovare i punti di intersezione, dobbiamo risolvere il sistema di equazioni:
y = (x + 2)(x - 4)
y = kx + 2

Sostituiamo la seconda equazione nella prima:
kx + 2 = (x + 2)(x - 4)
kx + 2 = x^2 - 4x + 2x - 8
kx + 2 = x^2 - 2x - 8

Riordiniamo l'equazione per ottenere un'equazione quadratica:
x^2 - (2 + k)x - 10 = 0

Risolviamo questa equazione quadratica per trovare le ascisse dei punti di intersezione. Utilizziamo la formula quadratica:
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Dove:
* a = 1
* b = -(2 + k)
* c = -10
Sostituendo i valori, otteniamo:
x = \frac{(2 + k) \pm \sqrt{(2 + k)^2 - 4(1)(-10)}}{2(1)}
x = \frac{(2 + k) \pm \sqrt{k^2 + 4k + 4 + 40}}{2}
x = \frac{(2 + k) \pm \sqrt{k^2 + 4k + 44}}{2}

Chiamiamo le due soluzioni x1 e x2:
x_1 = \frac{(2 + k) - \sqrt{k^2 + 4k + 44}}{2}
x_2 = \frac{(2 + k) + \sqrt{k^2 + 4k + 44}}{2}

2. Calcolare l'area del segmento parabolico
L'area del segmento parabolico è data dall'integrale definito della differenza tra le due funzioni, calcolato tra i punti di intersezione x1 e x2:
A(k) = \int_{x_1}^{x_2} [(kx + 2) - (x + 2)(x - 4)] dx

Semplificando l'integranda:
A(k) = \int_{x_1}^{x_2} (-x^2 + (2 + k)x + 10) dx

Calcolando l'integrale:
A(k) = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{(2 + k)x^2}{2} + 10x\right]_{x_1}^{x_2}

Sostituendo x1 e x2 e semplificando, otteniamo:
A(k) = \frac{1}{6} (k^2 + 4k + 44)^{3/2}

3. Trovare il valore di k per cui l'area è minima
Per trovare il valore di k che minimizza l'area, dobbiamo derivare A(k) rispetto a k e impostare la derivata uguale a zero:
\frac{dA(k)}{dk} = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} (k^2 + 4k + 44)^{1/2} (2k + 4) = 0

Semplificando:
(k^2 + 4k + 44)^{1/2} (k + 2) = 0

Poiché ((k^2 + 4k + 44)^{1/2}) è sempre positivo, l'equazione è soddisfatta solo quando:
k + 2 = 0
k = -2