massimo

Se sono positivi, 50 e 50.

Se la somma é fissa il prodotto é massimo quando sono uguali, e così il quadrato.

Se non é detto che siano positivi non c'é un massimo

x^2(100 - x)^2 = 10000 x^2 - 200x^3 + x^4

può essere grande a piacimento.

z = x^2·y^2

vincolo: x + y = 100----> y = 100 - x

Quindi per sostituzione: 

z = x^2·(100 - x)^2-----> z = x^4 - 200·x^3 + 10000·x^2

z'=0 (C.N.)

4·x^3 - 600·x^2 + 20000·x = 0-----> 4·x·(x - 50)·(x - 100) = 0

soluzioni: x = 100 ∨ x = 50 ∨ x = 0

per x=0 oppure a x=100 si ha un minimo relativo ed assoluto per cui z=0

per x=50:

z = 50^4 - 200·50^3 + 10000·50^2 = 6250000 max assoluto vincolato per z.

Infatti z''(50):

12·x^2 - 1200·x + 20000-----> z''(50)=12·50^2 - 1200·50 + 20000=-10000<0

"la cui somma e' 100" ≡ y = 100 - x
"il prodotto x^2 * y^2" ≡ (x*y)^2 = (x*(100 - x))^2 =
= (x^2 - 200*x + 10000)*x^2
ha due zeri doppi in x = 0 e in x = 100 che sono anche minimi relativi e assoluti, un massimo relativo in x = 50, ma nessun massimo assoluto.
Dovendo essere 0 < x < 100 la risposta è (50, 50).