Determina a e b in modo che la funzione y=e^(2x)+ae^(-x)+b presenti un punto di estremo relativo di coordinate (ln3,2) - (R. a=54 e b=-25)
Potete spiegarmi tutti i passaggi? Grazie.
Determina a e b in modo che la funzione y=e^(2x)+ae^(-x)+b presenti un punto di estremo relativo di coordinate (ln3,2) - (R. a=54 e b=-25)
Potete spiegarmi tutti i passaggi? Grazie.
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Livello 2
Grazie mille a tutti gentilissimi. Grazie!
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Livello 6
@gregorius Gregorius, curiosità come fai a scrive in quel modo gli esercizi, usi dei programmi a posta? Complimenti Grazie.
In genere uso Latex e poi lo integro con disegni
@gregorius Complimenti Grego
\[y = e^{2x} + ae^{-x} + b \mid \frac{dy}{dx} = 2e^{2x} - ae^{-x}\:\Bigg|_{\substack{x = \log{3}}} = 0 \implies 2e^{2\log{3}} - ae^{-\log{3}} = 0 \iff 2 \cdot 9 - \frac{a}{3} = 18 - \frac{a}{3} = 0 \iff a = 54\]
\[\frac{dy}{dx} \:\Bigg|_{\substack{x = \log{3}}} = 2 \implies e^{\log{9}} + 54e^{-\log{3}} = 9 + 54 \cdot \frac{1}{3} + b \implies 27 + b = 2 \iff b = -25\,.\]
3531
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Livello 5
@enrico_bufacchi ENrico grazie della risposta, ma così non capisco proprio nulla. sei sempre disponibile grazie!
Devi scrivere il sistema:
{passaggio per il punto [LN(3), 2]
{C.N.: in x = LN(3) y' = 0 con y' =dy/dx=2·e^(2·x) - a·e^(-x)
------------------------
Quindi:
{2 = e^(2·LN(3)) + a·e^(- LN(3)) + b
{2·e^(2·LN(3)) - a·e^(- LN(3)) = 0
Procedi per sostituzione determinando prima il parametro a dalla seconda.
a=2·e^(2·LN(3))/e^(- LN(3)) =2·e^(2·LN(3))·e^LN(3) = 54
Spiegazione:
2·e^(2·LN(3))·e^LN(3) = 2·e^(3·LN(3)) = 2·e^LN(27) = 2·27 = 54
La prima diventa:
9 + 54/3 + b = 2---->b = -25
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Genius II
Tutti i passaggi
A) Riscrivere senza operatori impliciti.
* f(x, a, b) = y = e^(2*x) + a*e^(- x) + b
B) Calcolare la derivata prima.
* f'(x, a, b) = dy/dx = 2*e^(2*x) - a*e^(- x)
C) Per avere un estremo relativo in (ln(3), 2) occorre che, per x = ln(3), si abbia
* (f(ln(3), a, b) = 2) & (f'(ln(3), a, b) = 0) ≡
≡ (e^(2*ln(3)) + a*e^(- ln(3)) + b = 2) & (2*e^(2*ln(3)) - a*e^(- ln(3)) = 0) ≡
≡ (9 + a*1/3 + b = 2) & (2*9 - a*1/3 = 0) ≡
≡ (a = 54) & (b = - a/3 - 7 = - 54/3 - 7 = - 25)
D) Presentare la funzione richiesta.
* f(x) = y = e^(2*x) + 54*e^(- x) - 25
Vedi il paragrafo "Real solution" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D2%2Cy-54*e%5E%28-x%29%3De%5E%282*x%29-25%5D
e il grafico ai link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D2%2Cy-54*e%5E%28-x%29%3De%5E%282*x%29-25%5Dx%3D-3to3
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Genius I
y' = 2 e^(2x) - ae^(-x)
deve quindi essere
2 = e^(2 ln 3) + a e^(- ln 3) + b => 9 + a/3 + b = 2
0 = 2 e^(2 ln 3) - a e^(- ln 3) => 2*9 - a/3 = 0 => a = 3*18 = 54
e per sostituzione b = - a/3 + 2 - 9 = -18 - 7 = -25
y = e^(2x) + 54 e^(-x) - 25
Verifica grafica
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Livello 7