Considera la funzione $y=\frac{x+a}{\sqrt{x^2+4}}$. Determina per quali valori di $a$ :
a. non ammette punti di estremo relativo;
b. ammette un punto di minimo relativo;
c. ammette un punto di massimo relativo;
d. ammette un punto stazionario di ascissa $x=8$.
Mi aiutate per favore con tutti i passaggi a risolvere esercizio 232.
Grazie mille.
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Livello 2
Ex 232
y = (x + a)/√(x^2 + 4)
La funzione è definita su tutto R : -∞ < x < +∞
Inoltre si ha:
LIM((x + a)/√(x^2 + 4)) = -1
x---> -∞
LIM((x + a)/√(x^2 + 4)) = 1
x---> +∞
y' = dy/dx= (4 - a·x)/(x^2 + 4)^(3/2)
Per a = 0
Risulta:
y' = 4/(x^2 + 4)^(3/2) >0 in tutto R
quindi sempre crescente e quindi non può ammettere punti di estremo relativo (il cui numeratore si dovrebbe in tal caso annullare)
Per a ≠ 0 ammette un punto di stazionarietà
questo in corrispondenza di 4 - a·x = 0 ---> x = 4/a
Per la natura di tale punto si deve considerare la derivata seconda:
2·(a·x^2 - 6·x - 2·a)/(x^2 + 4)^(5/2) valutata in x = 4/a
Ammette minimo relativo in tale punto se risulta:
a·(4/a)^2 - 6·(4/a) - 2·a > 0----> a < 0
Ammette punto di massimo relativo se risulta:
a·(4/a)^2 - 6·(4/a) - 2·a < 0-----> a > 0
Per x=8 ammette un punto di stazionarietà se risulta:
8 = 4/a----> a = 1/2
(in tal caso è un massimo relativo)
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Genius II
