Data la funzione $y=\ln x+\frac{a}{x}$, determina per quale valore di a il minimo valore assunto dalla funzione è 3.
$$
\left[a=e^2\right]
$$
Es 227 gentilmente con i vari passaggi grazie mille.
Data la funzione $y=\ln x+\frac{a}{x}$, determina per quale valore di a il minimo valore assunto dalla funzione è 3.
$$
\left[a=e^2\right]
$$
Es 227 gentilmente con i vari passaggi grazie mille.
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Livello 2
y = LN(x) + a/x
Il minimo della funzione si ha per : y'=dy/dx =0 (C.N.)
1/x - a/x^2 = 0----> (x - a)/x^2 = 0 quindi per x = a
Per tale valore di x la funzione è pari a 3:
3 = LN(x) + a/x-----> 3 = LN(a) + a/a----> 3 = LN(a) + 1
LN(a) = 2---> a = e^2
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Genius II
Dalla funzione data e dalle sue due prime derivate
* f(x) = y = ln(x) + a/x
* f'(x) = (x - a)/x^2
* f''(x) = (2*a - x)/x^3
e dal fatto che, nel suo insieme di definizione reale (x > 0), vada a più infinito per entrambi gli estremi si vede che il minimo assoluto è l'unico minimo relativo
* (f'(x) = 0) & (f''(x) > 0) & (x > 0) ≡
≡ ((x - a)/x^2 = 0) & ((2*a - x)/x^3) & (x > 0) ≡
≡ (x = a) & (a > 0)
cioè
* f(x) = y = ln(x) + a/x >= f(a) = ln(a) + 1
da cui l'equazione risolutiva
* ln(a) + 1 = 3 ≡
≡ ln(a) = 2 ≡
≡ e^ln(a) = e^2 ≡
≡ a = e^2
che è proprio il risultato atteso.
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Genius I