[Risolto] massimi e minimi

A) Trovare almeno una forma normale della funzione data
* y = (a*x^3 + b*x^2 + c*x)/x + 2 ≡
≡ y = a*x^2 + b*x + (c + 2) ≡
≡ y = a*(x + b/(2*a))^2 + (4*a*(c + 2) - b^2)/(4*a)
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B) Riconoscere una parabola con
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* apertura a != 0
* vertice V(- b/(2*a), (4*a*(c + 2) - b^2)/(4*a))
che quindi ha un unico estremo nel vertice.
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C1) Per avere "un minimo di ascissa -1" occorre e basta che
* - b/(2*a) = - 1 ≡ b = 2*a > 0
da cui
* y = a*(x + 1)^2 + (c - a + 2)
* V(- 1, (c - a + 2))
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C2) Per avere passaggio "nel punto (1;2)" occorre e basta che
* 2 = a*(1 + 1)^2 + (c - a + 2) ≡ c = - 3*a < 0
da cui
* y = a*(x + 1)^2 - 2*(2*a - 1)
* V(- 1, - 2*(2*a - 1))
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C3) Per avere "tangente in T(1, 2) la retta t ≡ y = 2*x" occorre e basta che la pendenza della parabola valga due in T.
* dy/dx = m(x) = 2*a*(x + 1)
* m(1) = 2*a*(1 + 1) = 2 ≡ a = 1/2 > 0
da cui
* y = (x + 1)^2/2
* V(- 1, 0)
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D) Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D%28x%2B1%29%5E2%2F2%2C%28x%2B1%29*%28y-2*x%29%3D0%5D

RISPOSTA SUPPLETIVA
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In un corso universitario sarebbe un'eresia se un revisore desse ARBITRARIAMENTE una propria interpretazione a ciò che lo studente ha scritto.
Ma in una Commissione di Maturità (vi ho partecipato dal 1970 al 2004) lo si è fatto quasi abitualmente (per limitare il numero di alunni respinti), e non solo nella revisione della prima prova in Italiano!
Così, dopo aver pubblicato la mia risposta basata su ciò che hai scritto per come l'hai scritto, ho avuto una rimembranza di come si reinterpretavano le castronerie negli elaborati di Informatica o di Matematica e m'è venuto un DUBBIO: non è che per caso t'è rimasta nella tastiera una coppia di parentesi e che la forma parametrica sarebbe dovuta essere così?
* y = (a*x^3 + b*x^2 + c*x)/(x + 2)
perché, se questa INTERPRETAZIONE ARBITRARIA è giusta, allora la risposta precedente va cassata e si deve rifare tutto.
Se invece giusta non è puoi anche smettere la lettura di questa risposta suppletiva.
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A) Della funzione data servono le due prime derivate
* f(x) = y = (a*x^3 + b*x^2 + c*x)/(x + 2)
* f'(x) = dy/dx = m(x) = (2*a*x^3 + (6*a + b)*x^2 + 4*b*x + 2*c)/(x + 2)^2
* f''(x) = dm/dx = 2*a - 4*(4*a - 2*b + c)/(x + 2)^3
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B1) Passaggio "nel punto (1;2)"
* 2 = (a*1^3 + b*1^2 + c*1)/(1 + 2) ≡ c = 6 - (a + b)
da cui
* f(x) = y = (a*x^3 + b*x^2 + (6 - (a + b))*x)/(x + 2)
* f'(x) = dy/dx = m(x) = (2*a*x^3 + (6*a + b)*x^2 + 4*b*x + 2*(6 - (a + b)))/(x + 2)^2
* f''(x) = dm/dx = 2*a - 4*(4*a - 2*b + (6 - (a + b)))/(x + 2)^3
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B2) "tangente in T(1, 2) la retta t ≡ y = 2*x"
* m(1) = (2*a*1^3 + (6*a + b)*1^2 + 4*b*1 + 2*(6 - (a + b)))/(1 + 2)^2 = 2 ≡ b = 2*(1 - a)
da cui
* f(x) = y = (a*x^3 + 2*(1 - a)*x^2 + (a + 4)*x)/(x + 2)
* f'(x) = dy/dx = m(x) = (2*a*x^3 + 2*(2*a + 1)*x^2 + 8*(1 - a)*x + 2*(a + 4))/(x + 2)^2
* f''(x) = dm/dx = 2*a - 36*a/(x + 2)^3
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B3) "un minimo di ascissa -1"
* (f'(- 1) = 0) & (f''(- 1) > 0) ≡
≡ (2*(6*a + 1) = 0) & (- 34*a > 0) ≡
≡ a = - 1/6
da cui
* f(x) = y = - (1/6)*x*(x^2 - 14*x - 23)/(x + 2)
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C) Vedi ai link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D-%281%2F6%29*x*%28x%5E2-14*x-23%29%2F%28x%2B2%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D-%281%2F6%29*x*%28x%5E2-14*x-23%29%2F%28x%2B2%29%2C%28x%2B1%29*%28y-2*x%29%3D0%5D
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D-%281%2F6%29*x*%28x%5E2-14*x-23%29%2F%28x%2B2%29%2C%28x%2B1%29*%28y-2*x%29%3D0%5Dx%3D-2to1%2Cy%3D-2to3