Considera le rette di equazioni $y=\cos ^2 \alpha+2$ e $y=x \sin ^2 \alpha+2$, $\operatorname{con} \alpha \in(0,2 \pi)$ e $\alpha \neq \pi$. Determina l'equazione cartesiana del luogo descritto, al variare di $\alpha$, dal loro punto di intersezione e rappresentalo graficamente.
$$
\left[y=\frac{3 x+2}{x+1} \operatorname{con} x \geq 0\right]
$$
176
punti
Livello 1
\[\cos^2{\alpha} + 2 = x\sin^2{\alpha} + 2 \implies x = \cot^2{\alpha} \iff \frac{1}{x} = \tan^2{\alpha} \implies\]
\[y = \frac{1}{1 + \tan^2{\alpha}} + 2 = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} + 2 \iff y = \frac{3x + 2}{x + 1}\,.\]
3531
punti
Livello 5
y = cos^2(a)+2
y = x sin^2(a)+2
Intersezione
x sin^2(a)+2 = cos^2(a)+2
x = cos^2(a)/sin^2(a) = 1/tg^2(a)
Deve essere x >0
y = 1/(1+tg^2(a))+2
Per avere l'equazione cartesiana del luogo
trovato ricavi tg^2(a) = 1/x
per cui y = 1/(1 + 1/x) + 2 =
= x/(x+1) + 2 = (x + 2x +2)/(x+1) =
= (3x+2)/(x+1)
tratto di iperbole equilatera
45525
punti
Livello 7
* (y = cos^2(α) + 2) & (y = x*sin^2(α) + 2) ≡
≡ (cos^2(α) = y - 2) & (sin^2(α) = (y - 2)/x) & (x != 0)
sommando membro a membro si ha
* cos^2(α) + sin^2(α) = y - 2 + (y - 2)/x ≡
≡ 1 = (x + 1)*(y - 2)/x ≡
≡ (y = (3*x + 2)/(x + 1)) & (x ∉ {- 1, 0})
NOTA
La condizione restrittiva del risultato atteso è incomprensibile e, per x = 0, rotondamente errata.
57171
punti
Genius I
