Luoghi geometrici

Se il problema è il primo punto:

x^2 + y^2 - 4·x·COS(α) - 4·y·SIN(α) - SIN(2·α) = 0

0 ≤ α ≤ pi

Coordinate del centro:

[2·COS(α), 2·SIN(α)]

{x = 2·COS(α)

{y = 2·SIN(α)

tenendo presente la relazione fondamentale: SIN(α)^2 + COS(α)^2 = 1

quindi:

COS(α) = x/2

SIN(α)^2 = 1 - COS(α)^2

SIN(α) = ± √(1 - (x/2)^2)

per: 0 ≤ α ≤ pi vale solo il segno +

SIN(α) = √(1 - (x/2)^2)

e quindi:

y = 2·√(1 - (x/2)^2)---> y = √(4 - x^2)

Facciamo il secondo punto

r = √((2·COS(α))^2 + (2·SIN(α))^2 + SIN(2·α))

(è legato ai coefficienti a, b, c della circonferenza)

la funzione semplificata è:r = √(SIN(2·α) + 4)

C.N.:

d(√(SIN(2·α) + 4)/dα =0

COS(2·α)/√(SIN(2·α) + 4) = 0

α = 3·pi/4 ∨ α = pi/4

α = 3·pi/4

x^2 + y^2 - 4·x·COS(3/4·pi) - 4·y·SIN(3/4·pi) - SIN(2·(3/4·pi)) = 0

x^2 + y^2 + 2·√2·x - 2·√2·y + 1 = 0

α = pi/4

x^2 + y^2 - 4·x·COS(pi/4) - 4·y·SIN(pi/4) - SIN(2·(pi/4)) = 0

x^2 + y^2 - 2·√2·x - 2·√2·y - 1 = 0

a. Coordinate del centro $C(x_c, y_c)$ delle circonferenze

$ C = \quad \begin{align} x_c &= 2cos(α) \\ y_c &= 2sin(α) \end{align}; \qquad α \in [0, π]$

Il luogo così ottenuto è in forma parametrica, lo si vuole in forma cartesiana, si deve quindi eliminare il parametro α.

Quadriamo entrambe le equazione è sommiamole tra loro. Abbiamo così eliminato il parametro visto che (cos²α + sin²α = 1). 

$x_c^2+y_c^2 = 4$  per cui

$y_c = \sqrt{4-x_c^2}$

La soluzione negativa è stata scartata visto che ${α \in [0, π]}$

.

b. Circonferenza di raggio minimo e circonferenza di raggio massimo.

Dalla formula del raggio r ricaviamo

$ r(α) = \sqrt{x_c^2 + y_c^2 + sin(2α)} = \sqrt{4 + sin(2α)}$ 

si tratta di trovare i punti di minimo e di massimo per  ${α \in [0, π]}$

L'esistenza di tali estremi è garantita da Weirestrass.

• raggio massimo. 

il raggio r sarà massimo per sin(2α) = 1 per cui

$ sin(2α) = 1 \implies 2α = \frac{π}{2} \implies α = \frac{π}{4}$ quindi

• • $cosα = \frac{\sqrt{2}}{2}$
  • $sinα = \frac{\sqrt{2}}{2}$

l'equazione della circonferenza massima sarà

•  $x^2 + y^2 -2√2 x - 2√2 y - 1 = 0$

• raggio minimo. 

il raggio r sarà minimo per sin(2α) = -1 per cui

$ sin(2α) = -1 \implies 2α = \frac{3π}{2} \implies α = \frac{3π}{4}$ quindi

• • $cosα = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
  • $sinα = \frac{\sqrt{2}}{2}$

l'equazione della circonferenza massima sarà

•  $x^2 + y^2 + 2√2 x - 2√2 y + 1 = 0$

Da come scrivi hai problemi d'italiano, non di matematica.
Che vuol dire che hai sostituito x nella formula dove x già ci stava?
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Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
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Se riporti l'equazione a questa forma leggi l'espressione dei tre parametri e rispondi ai quesiti.
* Γ(α) ≡ x^2 + y^2 - 4*x*cos(α) - 4*y*sin(α) - sin(2*α) = 0 ≡
≡ x^2 - 4*x*cos(α) + y^2 - 4*y*sin(α) - sin(2*α) = 0 ≡
≡ (x - 2*cos(α))^2 - (2*cos(α))^2 + (y - 2*sin(α))^2 - (2*sin(α))^2 - sin(2*α) = 0 ≡
≡ (x - 2*cos(α))^2 + (y - 2*sin(α))^2 - (2*cos(α))^2 - (2*sin(α))^2 - sin(2*α) = 0 ≡
≡ (x - 2*cos(α))^2 + (y - 2*sin(α))^2 - 4 - sin(2*α) = 0 ≡
≡ (x - 2*cos(α))^2 + (y - 2*sin(α))^2 = sin(2*α) + 4
da cui
* C(2*cos(α), 2*sin(α))
* r^2 = sin(2*α) + 4
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Quesito a
Il luogo dei centri è la semicirconferenza di raggio due centrata nell'origine, dalla cui equazione parametrica
* (x = 2*cos(α)) & (y = 2*sin(α)) & (0 <= α <= π)
si ha, quadrando e sommando,
* (x^2 = 4*cos^2(α)) & (y^2 = 4*sin^2(α)) & (0 <= α <= π) ≡
≡ (x^2 + y^2 = 4) & (y >= 0) ≡
≡ y = √(4 - x^2)
vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=plot%5Bx%3D2*cos%28%CE%B1%29%2Cy%3D2*sin%28%CE%B1%29%5D%CE%B1%3D0to%CF%80
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Quesito b
La funzione
* r^2(α) = sin(2*α) + 4
ha estremi, nell'intervallo 0 <= α <= π,
* minimo r^2(3*π/4) = 3
* massimo r^2(π/4) = 5
ai quali corrispondono le
* Γ(3*π/4) ≡ (x + √2)^2 + (y - √2)^2 = 3
* Γ(α) ≡ (x - √2)^2 + (y - √2)^2 = 5