[Risolto] Logaritmi

Alla domanda che chiede, di un'equazione parametrica nell'unica variabile reale x con l'unico parametro reale k, «i valori del parametro per cui esista "almeno una radice" in x» si può rispondere cercando i valori di k per cui nessun x soddisfaccia all'equazione e poi facendo il complemento rispetto all'asse k.
In entrambi i casi occorre calcolare le radici ed esprimerle in funzione di k.
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Applicando l'identità
* log(b^n, a) = log(b, a)/n
si ha
* f(x) = y = (log(4, x))^2 - k*log(2, x) + 1 = 0 ≡
≡ (log(2, x)/2)^2 - k*log(2, x) + 1 = 0 ≡
≡ log^2(2, x)/4 - k*log(2, x) + 1 = 0 ≡
≡ log^2(2, x) - 4*k*log(2, x) + 4 = 0 ≡
≡ u^2 - 4*k*u + 4 = 0 ≡
≡ u = 2*(k ± √(k^2 - 1)) ≡
≡ (log(2, x) = 2*(k - √(k^2 - 1))) oppure (log(2, x) = 2*(k + √(k^2 - 1))) ≡
≡ (x = 2^(2*(k - √(k^2 - 1)))) oppure (x = 2^(2*(k + √(k^2 - 1)))) ≡
≡ (x = 4^(k - √(k^2 - 1))) oppure (x = 4^(k - √(k^2 - 1)))
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Da tali espressioni si nota che il testo dell'esercizio e il risultato atteso furono scritti da persone differenti senza consultarsi fra loro e che, in fase di revisione delle bozze, nessuna delle due si accorse della contraddizione.
Salta all'occhio che, per |k| < 1,
* il radicale ha valore immaginario
* l'esponente ha valore complesso
* la radice ha valore complesso
mentre, per |k| >= 1, tutt'e tre hanno valore reale (per |k| = 1, x = 4^(± 1)): non c'è alcun valore di k che renda indefinita l'una o l'altra radice.
Ebbene: il risultato atteso indica le sole radici reali, a fronte di un testo che pone il vincolo di realtà solo sul parametro ("Per quali a ∈ R …") e non sulle radici ("… ammette almeno una soluzione?").
Mica dice "ovviamente reale" né "con soluzione ∈ R …" o nulla di simile che autorizzi l'arbitraria interpretazione restrittiva adottata dall'estensore del risultato atteso!