Logaritmi

$log_2(2-x)-2log_2(x+8)=1$

per prima cosa devi porre

$x+8>0$ e $2-x>0$ che ti restituisce

$-8<x<2$ come campo di esistenza

adesso sfrutto alcune proprietà dei logaritmi:

$log_2(2-x)-2log_2(x+8)=log_2(2-x)-log_2(x+8)^2=log_2\frac{2-x}{(x+8)^2}=1$

adesso traformi in equazione esponenziale:

$2^{log_2\frac{2-x}{(x+8)^2}}=2^1=2$

cioè

$\frac{2-x}{(x+8)^2}=2$

ovvero

$2-x=2(x+8)^2$

risolvi l'equazione di secondo grado e trovi due soluzioni. Una è accettabile

$x=-6$ e l'altra no.

L'equazione
* log(2, 2 - x) - 2*log(2, x + 8) = 1
è definita se entrambi gli argomenti sono non nulli (NB: non necessariamente positivi, non è una disequazione d'ordine.) cioè
* x ∉ {- 8, 2}
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Con le identità
* n*log(b, a) = log(b, a^2)
* log(b, a1) - log(b, a2) = log(b, a1/a2)
* log(b, b) = 1
si ha
* log(2, 2 - x) - 2*log(2, x + 8) = 1 ≡
≡ log(2, 2 - x) - log(2, (x + 8)^2) = 1 ≡
≡ log(2, (2 - x)/(x + 8)^2) = 1 ≡
≡ (2 - x)/(x + 8)^2 = 2 ≡
≡ (x = - 21/2) oppure (x = - 6)
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Verifiche
1) log(2, 2 + 21/2) - 2*log(2, - 21/2 + 8) =
= log(2, 25/2) - 2*log(2, - 5/2) =
= log(2, 25/2) - log(2, 25/4) = 1
NB: alla luce della manipolazione formale susseguente è irrilevante che il valore del logaritmo nel sottraendo fosse complesso.
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2) log(2, 2 + 6) - 2*log(2, - 6 + 8) =
= log(2, 2^3) - 2*log(2, 2) =
= log(2, 2^3) - log(2, 2^2) = 1