[Risolto] Lo studio del segno di un quoziente, dimostrazioni di geometria

ESERCIZIO 350

$\frac{x-3}{2x-1}+1-\frac{3}{2}<0$

$\frac{x-3}{2x-1}-\frac{1}{2}<0$

$\frac{2(x-3)-(2x-1)}{2(2x-1)}<0$

$\frac{2x-6-2x+1}{2(2x-1)<0}$

$\frac{-5}{2(2x-1)}<0$

$\frac{1}{2x-1}>0$

$2x-1>0$

$2x>1$

$x>\frac{1}{2}$

$x\in(\frac{1}{2};+$∞$)$

ESERCIZIO 352

$\frac{2}{3x}>\frac{4}{9}$

$\frac{2}{3x}-\frac{4}{9}>0$

$\frac{6-4x}{9x}>0$

$\frac{2(3-2x)}{9x}>0$

$\frac{3-2x}{x}>0$

C.E.:$x\not=0$

Studio dei segni

$3-2x>0\Rightarrow$$x<\frac{3}{2}$
$x>0$

Soluzione

$0<x<\frac{3}{2}$

$x\in(0;\frac{3}{2})$

La dimostrazione di geometria è immediata osservando che - per ipotesi (almeno a vedere la foto) - i due triangoli che compongono il quadrilatero hanno ciascuno due angoli uguali e di conseguenza anche il terzo; questo li rende simili. Inoltre avendo un lato corrispondente in comune sono congruenti e sovrapponibili per semplice isomorfismo.

Essendo quindi uguali la bisettriche dell'angolo corrispondente ha per entrambi la medesima misura

Es. 350.

Per prima cosa x deve essere diverso da 1/2. Porta a sinistra il 3/2

$(x-3)/(2x-1)-1/2<=0$

Adesso metti a comune denominatore

$(2x-6-2x+1)/2(2x-1)<=0$ 

$-5/(2x-1)<=0$

$5/(2x-1)>=0$

A questo punto devi studiare il segno solo del den

2x-1 è >=0 per x>=1/2 ma siccome 1/2 non è accettabile, resta solo $x>1/2$

Gli esercizi di Geometria, a capisotto, non li leggo (il mio browser non raddrizza).
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Lo studio del segno di un quoziente è immediato: pari pari quello del rapporto da cui ha origine (è il resto quello ad avere segno fisso).
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STUDIO DEL SEGNO DI UN RAPPORTO
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Esercizio 350
* (x - 3)/(2*x - 1) + 1 <= 3/2 ≡
≡ ((x - 3)/(2*x - 1) + 1 - 3/2 <= 0) & (x != 1/2) ≡
≡ (- 5/(2*(2*x - 1)) <= 0) & (x != 1/2) ≡
≡ (2*x - 1 >= 0) & (x != 1/2) ≡
≡ (x >= 1/2) & (x != 1/2) ≡
≡ x > 1/2