[Risolto] Lo studio del segno di un prodotto

Per studiare il segno di un prodotto bisogna studiare il segno dei singoli fattori e metterli insieme mediante la tabella dei segni

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$(x+\frac32) (x+\frac34)(x+1) \geq 0$

$F_1: x+\frac32 \Rightarrow x \geq -\frac32$
$F_2: x+\frac34 \Rightarrow x \geq -\frac34$
$F_3: x+1 \Rightarrow x \geq -1$

Tabella dei segni: scegliamo i "+" perché nella disequazione abbiamo $\geq 0$

La soluzione quindi è $-\frac34 \leq x \leq -\frac32 \vee x \geq -1$

292

$(x-\frac23) (x-\frac12)(x-\frac25) < 0$

Studiamo tutti i fattori $>0$ e poi scegliamo i "-" nella tabella dei segni:

$F_1: x-\frac23 \Rightarrow x \geq \frac23$
$F_2: x-\frac12 \Rightarrow x \geq \frac12$
$F_3: x-\frac25 \Rightarrow x \geq \frac25$

La soluzione è $ x < \frac25 \vee \frac12 \leq x \leq \frac23 $

293

$x(x-1)(x+1)>0$

Studiamo tutti i fattori $>0$ e poi scegliamo i "+" nella tabella dei segni:

$F_1: x>0$
$F_2: x-1 >0 \Rightarrow x > 1$
$F_3: x+1>0 \Rightarrow x > -1$

 La soluzione che otteniamo è

cioè $ -1 < x <0 \vee x >1 $

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$(x-3)(2x+8)(5x-1) < 0 $

Studiamo tutti i fattori $>0$ e poi scegliamo i "-" nella tabella dei segni:

$F_1: x> 3$
$F_2: 2x+8 >0 \Rightarrow x > -4 $
$F_3: 5x-1>0 \Rightarrow x > \frac15$

che ci dà come soluzione $ x < -4 \vee \frac15 < x < 3 $

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$\frac12(x+1)(2x-3)(2-x)x \geq 0 $

Studiamo tutti i fattori $>0$ e poi scegliamo i "+" nella tabella dei segni. Il fattore $\frac12$ essendo un fattore sempre positivo può essere trascurato.

$F_1: x> -1$
$F_2: 2x-3 >0 \Rightarrow x > \frac32 $
$F_3: 2-x>0 \Rightarrow -x > -2 \Rightarrow x < 2 $
$F_4: x > 0 $

che ci dà come soluzione: $ -1 \leq x \leq 0 \vee \frac32 \leq x \leq 2 $

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$x^2-64 \geq 0 $

per prima cosa scomponiamo. Questo è una somma per differenza, quindi:

$(x-8)(x+8) \geq 0 $

Studiamo separatamente i due fattori:

$x-8 \geq 0 \Rightarrow x \geq 8 $

$x+8 \geq 0 \Rihgtarrow x \geq -8 $

e come prima facciamo la tabella dei segni dove prendiamo i +, e ci dà come soluzione $x \leq -8 \vee x \geq 8 $

300

$4x^2-4x+1 > 0 $

scomponiamo. questo è un quadrato di binomio

$(2x-1)^2 > 0 $

Ogni cosa al quadrato è $\geq 0$ ma noi vogliamo $> 0$ quindi il caso $= 0$ va escluso!

Quindi $(2x-1)^2 \neq 0 $ cioè $2x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac12 $