Limiti, utilizzando il metodo del confronto.

$ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} a^{x(\sqrt{x^2+2} - (\sqrt{x^2+1}) } = 2 $

Forma indeterminata del tipo ∞-∞.

La funzione esponenziale è una funzione continua, possiamo quindi calcolare separatamente il limite dell'esponente.

$ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} {x(\sqrt{x^2+2} - \sqrt{x^2+1})} =  $

Razionalizziamo

$ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{x(x^2+2- x^2-1)}{(\sqrt{x^2+2} + \sqrt{x^2+1})} = $

$ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{(\sqrt{x^2+2} + \sqrt{x^2+1})} = $

Cambio variabile t = -x  (allergia al -∞)

$ \displaystyle\lim_{t \to +\infty} \frac{-t}{(\sqrt{t^2+2} + \sqrt{t^2+1})} = $

dividiamo sopra e sotto per t

$ \displaystyle\lim_{t \to +\infty} \frac{-1}{(\sqrt{1+\frac{2}{t^2}} + \sqrt{1+\frac{1}{t^2}})} = -\frac{1}{2}$

Indietro al limite originario

$ = a^{-\frac{1}{2}} = 2 $

$ \frac{1}{\sqrt{a}} = 2$

$ \sqrt{a} = \frac{1}{2} \; ⇒ \; a = \frac{1}{4} $