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$ displaystyle lim _{x to + infty } ( frac {x+α}{x+1} )^x = $ $ displaystyle lim _{x to + infty } ( frac {x+1+α-1}{x+1} )^x = $ $ displaystyle lim _{x to + infty } ( 1+ frac {α-1}{x+1} )^{x+1-1} = $ $ displaystyle lim _{x to + infty } ( 1+ frac {α-1}{x+1} )^{x+1} . ( 1+ frac {α-1}{x+1} )^{-1} = e^{α-1} . 1 = e^{α-1} $ Risolviamo la disequazione $ e^{α-1} > sqrt {e} ; ⇒ ; α-1 > frac {1}{2} ; ⇒ ; α > frac {3}{2} $

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ALBY

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02/01/2025 17:48

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$ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left( \frac{x+α}{x+1} \right)^x = $

$ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left( \frac{x+1+α-1}{x+1} \right)^x = $

$ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left( 1+ \frac {α-1}{x+1} \right)^{x+1-1} = $

$ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left( 1+ \frac {α-1}{x+1} \right)^{x+1} \cdot \left( 1+ \frac {α-1}{x+1} \right)^{-1} = e^{α-1} \cdot 1 = e^{α-1} $

Risolviamo la disequazione

$ e^{α-1} > \sqrt{e} \; ⇒ \; α-1 > \frac{1}{2} \; ⇒ \; α > \frac{3}{2} $