[Risolto] Limiti (sono 3)

Ciao!

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+3x)}{x}$$

Usiamo il limite notevole $\lim_{f(x) \rightarrow 0}\frac{\log(1+f(x))}{f(x)} = 1 $, ma per farlo, dato che nell'argomento del logaritmo c'è $f(x) = 3x$ dobbiamo avere anche al denominatore $3x$. Noi abbiamo solo $x$, quindi moltiplichiamo e dividiamo l'intera funzione per $3$:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{3\log(1+3x)}{3 x} = \lim_{x \rightarrow 0} 3 \cdot  \frac{\log(1+3x)}{3x} = \lim_{x \rightarrow 0}3 \cdot 1 = 3$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{4\sin(2x)-5x}{2\sin(x)+3x}$$

Usiamo il limite notevole $\lim_{f(x) \rightarrow 0}\frac{\sin(f(x))}{f(x)} = 1 $.

Per il numeratore, $4\sin(2x)-5x = 4\frac{2x}{2x}\sin(2x)-5x = 4 \cdot 2x \frac{\sin(2x)}{2x}-5x = 4\cdot 2x \cdot 1 -5x = 8x-5x = 3x $

Per il denominatore: $2\sin(x)+3x = 2\frac{x}{x}\sin(x)+3x = 2x \frac{\sin(x)}{x} +3x  = 2x \cdot 1 +3x = 5 x $

Quindi, nel complesso: 

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{4\sin(2x)-5x}{2\sin(x)+3x}= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{3x}{5x} = \frac35 $

$$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{ x^3 -6x^2 + 11 x-6}{4-x^2} $$

Sostituiamo $2$ nel limite:

$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{ x^3 -6x^2 + 11 x-6}{4-x^2} = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{ 2^3 -6(2)^2 + 11 (2)-6}{4-2^2} = $

$= \lim_{x \rightarrow 2} \frac{8-24+22-6}{4-4}  =  \lim_{x \rightarrow 2} \frac{ 0}{0}  $

Scomponiamo numeratore e denominatore, perché se quando ci mettiamo dentro $2$ viene $0$, significa che il polinomio è divisibile per $x-2$, quindi:

$x^3-6x^2+11x-6 = (x^2-4x+3)(x-2)$ (puoi eventualmente calcolare questa scomposizione facendo la divisione tra polinomi)

$4-x^2 = (2-x)(2+x) $

quindi:

$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{ (x^2-4x+3)(x-2)}{(2-x)(2+x)} =  \lim_{x \rightarrow 2} \frac{ (x^2-4x+3)(x-2)}{-(x-2)(2+x)} = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{ x^2-4x+3}{-(2+x)}$

Sostituiamo nuovamente:

$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{ x^2-4x+3}{-(2+x)} = \lim_{x \rightarrow 2} \frac{ 2^2-4(2)+3}{-(2+2)}= \lim_{x \rightarrow 2} \frac{ 4-8+3}{-4} = \frac14 $

Per il primo: moltiplica e dividi per 3. ti esce:

$3*\frac{log(1+3x)}{3x}$ la frazione è un limite notevole e tende a 1, quindi il risultato è 3.

Per il secondo: metti in evidenza una 2x sia al num che al den:

$\frac{2x(\frac{4sin2x}{2x}-5/2)}{2x(\frac{2sinx}{2x}+3/2)}$

Adesso semplifichi la 2x e poi hai il limite notevole $\frac{sinx}{x}$ che tende ad uno.

in totale ti resta $-\frac{3/2}{5/2}=\frac{3}{5}$