4598
punti
Livello 2
Problema:
Si determini il valore del seguente limite:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} x^{\frac{1}{1+3\ln x}}$
Soluzione:
Il limite può essere riscritto come segue tramite le proprietà dei logaritmi:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} x^{\frac{1}{1+3\ln x}}=\lim_{x \rightarrow 0^+} e^{\ln x^{\frac{1}{1+3\ln x}}}= \lim_{x \rightarrow 0^+} e^{\frac{\ln x}{1+3\ln x}}$
Dato che l'esponenziale è una funzione continua, si ha:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} e^{\frac{\ln x}{1+3\ln x}}=e^{\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\ln x}{1+3\ln x}}$
Ponendo $t=\ln x$ si ha:
$e^{\lim_{t \rightarrow -∞} \frac{t}{1+3t}}=e^{\lim_{t \rightarrow -∞} \frac{t}{3t}}=e^{\frac{1}{3}}$
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Livello 5