Limiti. Potete aiutarmi

\[\lim_{x\to 0^{-}} \frac{\log{\left(1+\sqrt{\arctan{x^2}}\right)}}{e^x - 1}\,.\]

Espandendo in serie di Taylor

\[\log{\left(1+\sqrt{\arctan{x^2}}\right)} \approx \log{\left(1+\sqrt{x^2}\right)} \approx \log{(1-x)}\mid x < 0\,,\]

si ha

\[\lim_{x\to 0^{-}} \frac{\log{(1+x)}}{e^x-1}\,.\]

Espandendo in serie di Taylor

\[\log{(1-x)} \approx (-x) \quad \forall x\in I_{\delta}^{-}(0)\]

\[(e^x - 1) \approx (1 + x - 1) \quad \forall x\in I_{\delta}^{-}(0)\,,\]

si ha

\[\lim_{x\to 0^{-}} -\frac{x}{x} = -1\,.\]

Per x->0 si ha

arctan(x²)≈ x²  , log(1+x) ≈ x , exp(x)-1 ≈ x

Lim x->0- (log(1+sqrt(arctan(x²)))/(exp(x)-1) ≈

Lim x->0 (log(1+sqrt(x²))/x≈

Lim x->0- (log(1+|x|))/x  0- < 0 quindi |x|=-x

Lim x->0- (log(1-x))/x ≈

Lim x ->0-  -x/x= -1

Riscriviamo la funzione in modo da richiamare i limiti notevoli

• Numeratore.

$\frac {log(1+\sqrt{arctanx^2})}{\sqrt{arctanx^2}} \cdot \frac {\sqrt{arctanx^2}}{\sqrt{x^2}} \cdot {\sqrt{x^2}}$

ovvero 

$\frac {log(1+\sqrt{arctanx^2})}{\sqrt{arctanx^2}} \cdot \frac {\sqrt{arctanx^2}}{\sqrt{x^2}} \cdot |x|$

• Denominatore

$\frac{e^x -1}{x} \cdot {x}$

passando al limite, tenendo ben presente i 3 limiti notevoli, si ha

$\displaystyle\lim_{x \to o^-} \frac {|x|}{x} = -1$