Buongiorno, studiando la definizione di limite finito per x che tende a un valore finito, ho appreso che l intorno di c che si ottiene deve dipendere da epsilon. Tuttavia nella foto si nota che, pur essendo il limite uguale ad l, l'intorno dipendente da epsilon non include c, ma siccome la definizione deve valere per ogni epsilon maggiore di 0, allora secondo il ragionamento il limite non fa l. Qualcuno può spiegarmi?
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Livello 0
Primo distinguo. Siamo noi che scegliamo x₀ o c. Se vogliamo il limite per x→x₀ dobbiamo concentrare la nostra attenzione sugli intorni che coinvolgono x₀ e L. Dimentichiamo il punto c.
Dalla definizione di limite, segue che la ε la scegliamo a piacere purché sia positiva.
Una volta fissata la ε anche l'intervallo L-ε, e L+ε è definito.
Chi deve dimostrare l'esistenza del limite deve esibire un δ positivo, questo si dipende dall'ε, tale che l'immagine di tutti i punti x dell'intorno (x₀ - δ, x₀ + δ) ..... caschi nell'intervallo (L-ε, L+ε).
Conclusione. Una volta fissato ε il tutto è determinato salvo il $δ_ε$. Tieni presente che di δ (cioè di intervalli attorno a x₀) validi, se esistono, ve ne sono infiniti. Tutti gli intervalli più piccoli saranno validi a loro volta. La definizione prevede che ne venga esibito almeno uno.
P.S. Lo so, la definizione di limite è una rogna; non è un caso che per trovarla sono stati necessari più di 150 anni di proposte e studi e qualche ora del tuo tempo.
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Livello 4
@cmc Grazie mille. Quindi, se ho ben capito, una volta fissato epsilon vi sono più intorni sull asse delle x che dipendono dallo stesso epsilon. Basta mostrare che la definizione di limite è soddisfatta in uno di questi intorni per verificare un limite.
@ De Luca. Si è così. Per illustrare come funziona la definizione si fa un giochino che coinvolge due persone.
La prima dichiara la ∈ scelta e la seconda deve rispondere con un δ o in alternativa un intervallo. Può capitare il caso che
Da notare che le due risposte intervallo e δ sebbene entrambe valide non sono equivalenti. L'intervallo corrispondente a δ = 3 risulta essere (-3, 3).
