Limiti di funzioni trascendenti.

LIM(SIN(2·x)/(COS(x) + 1))=???

x---> pi

assume la forma indeterminata(0/0) Risolvo con De L'Hopital:

N'(x) = 2·COS(2·x)

D'(x) = - SIN(x)

Quindi il valore del limite: non esiste per x--> 0 mentre esistono i limiti sinistro e destro e valgono:

LIM(2·COS(2·x)/(- SIN(x))) = -∞

x--> pi -

LIM(2·COS(2·x)/(- SIN(x)))= +∞

x--> pi +

Forma indeterminata del tipo 0/0. 

Il risultato indicato, cioè ∞, sebbene accettato da alcuni in USA, è fuorviante. Questo limite è indeterminato ovvero non esiste. Proviamolo calcolando i due limiti laterali.

Applicando de l'Hôpital

• $ \displaystyle\lim_{x \to \pi^-} \frac{2cos(2x)}{-sinx} = \frac{2\cdot 1}{-0^+
  } = -\infty $
• $ \displaystyle\lim_{x \to \pi^+} \frac{2cos(2x)}{-sinx} = \frac{2\cdot 1}{-0^-
  } = +\infty $