Limiti di funzioni trascendenti.

Forma indeterminata del tipo 0/0

Usiamo un po' di trigonometria per poi applicare de l'Hôpital

$ \begin{aligned} \displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1+cos(2x)}{(2x-\pi)^2} &= \displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1+2cos^2x -1}{(2x-\pi)^2} \\ &= \displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2cos^2x}{(2x-\pi)^2}\\ &= \left[\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{2} cosx}{2x-\pi} \right]^2 \end{aligned} $

Nell'ultimo passaggio abbiamo usato la continuità della funzione "elevare al quadrato"

Usiamo ora de l'Hôpital

$ \displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac {-\sqrt{2}sin x}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} $

Possiamo così concludere che il limite L dato esiste e vale 

$ L =[-\frac{1}{\sqrt{2}}]^2 = \frac{1}{2} $