Limiti di funzioni in due variabili

cambio di variabili x = ρ cos θ e y = ρ sin θ.

Primo limite
$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 y^4 \sin(xy^2)}{x^2+y^4}$

Introduciamo le coordinate polari:
- $x = \rho\cos\theta$
- $y = \rho\sin\theta$

Sostituiamo:

$x^2 = \rho^2\cos^2\theta$
$y^4 = \rho^4\sin^4\theta$
$xy^2 = \rho^3\cos\theta\sin^2\theta$

Quindi:

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 y^4 \sin(xy^2)}{x^2+y^4} = \lim_{\rho\to0} \frac{\rho^2\cos^2\theta \cdot \rho^4\sin^4\theta \cdot \sin(\rho^3\cos\theta\sin^2\theta)}{\rho^2\cos^2\theta+\rho^4\sin^4\theta}$

Semplifichiamo:

$\lim_{\rho\to0} \frac{\rho^6\cos^2\theta\sin^4\theta \cdot \sin(\rho^3\cos\theta\sin^2\theta)}{\rho^2(\cos^2\theta+\rho^2\sin^4\theta)}$

$= \lim_{\rho\to0} \frac{\rho^4\cos^2\theta\sin^4\theta \cdot \sin(\rho^3\cos\theta\sin^2\theta)}{\cos^2\theta+\rho^2\sin^4\theta}$

Utilizziamo ora il fatto che $\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t} = 1$, quindi:

$\sin(\rho^3\cos\theta\sin^2\theta) \sim \rho^3\cos\theta\sin^2\theta$ per $\rho \to 0$

Sostituendo:

$\lim_{\rho\to0} \frac{\rho^4\cos^2\theta\sin^4\theta \cdot \rho^3\cos\theta\sin^2\theta}{\cos^2\theta+\rho^2\sin^4\theta}$

$= \lim_{\rho\to0} \frac{\rho^7\cos^3\theta\sin^6\theta}{\cos^2\theta+\rho^2\sin^4\theta}$

Per $\rho \to 0$, il denominatore tende a $\cos^2\theta$ (quando $\cos\theta \neq 0$):

$= \lim_{\rho\to0} \frac{\rho^7\cos^3\theta\sin^6\theta}{\cos^2\theta}$

$= \lim_{\rho\to0} \rho^7 \cdot \cos\theta \cdot \sin^6\theta$

Poiché $\rho^7 \to 0$ quando $\rho \to 0$, e $\cos\theta \cdot \sin^6\theta$ è limitato, il limite è:

$= 0$

## Secondo limite
$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \left(\frac{2\sin(xy^3)}{x^2+y^6}+x\right)$

Usando le coordinate polari:
- $xy^3 = \rho^4\cos\theta\sin^3\theta$
- $x^2+y^6 = \rho^2\cos^2\theta + \rho^6\sin^6\theta$
- $x = \rho\cos\theta$

Quindi:

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \left(\frac{2\sin(xy^3)}{x^2+y^6}+x\right) = \lim_{\rho\to0} \left(\frac{2\sin(\rho^4\cos\theta\sin^3\theta)}{\rho^2\cos^2\theta + \rho^6\sin^6\theta}+\rho\cos\theta\right)$

Per il termine $\sin(\rho^4\cos\theta\sin^3\theta)$, utilizziamo nuovamente $\sin(t) \sim t$ per $t \to 0$:

$\sin(\rho^4\cos\theta\sin^3\theta) \sim \rho^4\cos\theta\sin^3\theta$ per $\rho \to 0$

Sostituendo:

$\lim_{\rho\to0} \left(\frac{2\rho^4\cos\theta\sin^3\theta}{\rho^2\cos^2\theta + \rho^6\sin^6\theta}+\rho\cos\theta\right)$

$= \lim_{\rho\to0} \left(\frac{2\rho^4\cos\theta\sin^3\theta}{\rho^2(\cos^2\theta + \rho^4\sin^6\theta)}+\rho\cos\theta\right)$

$= \lim_{\rho\to0} \left(\frac{2\rho^2\cos\theta\sin^3\theta}{\cos^2\theta + \rho^4\sin^6\theta}+\rho\cos\theta\right)$

Per $\rho \to 0$, il denominatore tende a $\cos^2\theta$ (quando $\cos\theta \neq 0$):

$= \lim_{\rho\to0} \left(\frac{2\rho^2\cos\theta\sin^3\theta}{\cos^2\theta}+\rho\cos\theta\right)$

$= \lim_{\rho\to0} \left(2\rho^2\frac{\cos\theta\sin^3\theta}{\cos^2\theta}+\rho\cos\theta\right)$

$= \lim_{\rho\to0} \left(2\rho^2\frac{\sin^3\theta}{\cos\theta}+\rho\cos\theta\right)$

Poiché $\rho \to 0$, il termine $2\rho^2\frac{\sin^3\theta}{\cos\theta} \to 0$ (per $\cos\theta \neq 0$).
Similmente, $\rho\cos\theta \to 0$.

Quindi il limite è:

$= 0$