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Lavoriamoci dapprima la funzione $ ( frac {x+α}{x+1} )^x = $ $ = ( frac {x+1 +( α -1)}{x+1} )^x = $ $ = (1+ frac {(α -1)}{x+1} )^x = $ $ = (1+ frac {(α -1)}{x+1} )^{x+1-1} = $ $ = (1+ frac {(α -1)}{x+1} )^{x+1} . (1+ frac {(α -1)}{x+1} )^{-1} = $ Passando ai limiti $ displaystyle lim _{x to + infty } (1+ frac {(α -1)}{x+1} )^{x+1} . displaystyle lim _{x to + infty } (1+ frac {(α -1)}{x+1} )^{-1} = e^{α -1} . 1$ Ci chiediamo quando il valore del limite è maggiore di √e. $ e^{α -1} > sqrt {e} $ Ricordo che l'esponenziale è una funzione strettamente crescente $ α -1 > frac {1}{2} ; ⇒ ; α > frac {3}{2} $

Limiti con il teorema di confronto.

Lavoriamoci dapprima la funzione

$ \left(\frac{x+α}{x+1} \right)^x = $

$ = \left(\frac{x+1 +( α -1)}{x+1} \right)^x = $

$ = \left(1+ \frac{(α -1)}{x+1} \right)^x = $

$ = \left(1+ \frac{(α -1)}{x+1} \right)^{x+1-1} = $

$ = \left(1+ \frac{(α -1)}{x+1} \right)^{x+1} \cdot \left(1+ \frac{(α -1)}{x+1} \right)^{-1} = $

Passando ai limiti

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1+ \frac{(α -1)}{x+1} \right)^{x+1} \cdot \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1+ \frac{(α -1)}{x+1} \right)^{-1} = e^{α -1} \cdot 1$

Ci chiediamo quando il valore del limite è maggiore di √e.

$ e^{α -1} > \sqrt{e} $

Ricordo che l'esponenziale è una funzione strettamente crescente

$ α -1 > \frac{1}{2} \; ⇒ \; α > \frac{3}{2} $

Limiti con il teorema di confronto.

Domande