Allora iniziamo dalla definizione di limite a più variabili; sia f una funzione definita in un intervallo I$\subset$$R^{2}$ indichiamo con la seguente scrittura i limite di f(x,y) che tende a ($x_{0}$,$y_{0}$):
$\lim_{(x,y)\to($_{0},y_{0})}{f(x,y)}$
Dalla teoria sappiamo che i limiti possono avere tre risultati:
- converge (esiste ed è finito)
- diverge (esiste ed è infinito)
- non esiste.
condizione NECESSARIA per l'esistenza del limite
sia f una funzione definita in un intervallo I$\subset$$R^{2}$ e ($x_{0}$,$y_{0}$) un punto di accumulazione dell'intervallo I allora diremo che:
$\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}{f(x,y)}$=l
il limite converge ad 'l' (valore finito o infinito) allora otteniamo che
per ogni A$\subset$I avente come punto di accumulazione ($x_{0}$,$y_{0}$) allora:
$\lim_{A}{f(x,y)}$=l
cioè il limite ristretto all'intervallino A converge sempre ad 'l'.
cosa significa tutto questo, immagina un piano (Una tavola, lavagna) e su di esso ci disegni un punto che chiamiamo ($x_{0}$,$y_{0}$) allora se sullo stesso piano ci disegni un'altro punto (x,y) allora se riusciamo a trovare un percorso (o cammino) che collega f($x_{0}$,$y_{0}$) con f(x,y) allora il limite esiste. Se invece non riusciamo a trovare nessuna linea che li collega allora il limite non esiste.
Fatta questa premessa, che spero sia stata chiara, posso iniziare a rispondere alla tua domanda.
Allora prima di buttarti nel calcolo del limite devi innanzitutto capire se questo limite esiste oppure non esiste e questo lo possiamo farlo utilizzando proprio la condizione necessaria per l'esistenza.
dimostrare che non esite (metodo della retta generica)
Ti espongo prima un lato teorico e poi cerco di farti un esempio visivo così puoi capire meglio.
Sia f una funzione definita in un intervallo I$\subset$$R^{2}$ e ($x_{0}$,$y_{0}$) un punto di accumulazione dell'intervallo I
Vogliamo verificare l'esistenza del limite:
$\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}{f(x,y)}$
Ora proviamo a negare la condizione necessaria, cioè voglio intendere che se riusciamo a trovare un sottoinsieme di I$\subset$$R^{2}$ tale che il limite non esiste allora posso dedurre che il limite iniziale non esiste.
Ora osserviamo che un sottoinsieme di punti che possiamo scegliere è proprio una retta passante per il punto ($x_{0}$,$y_{0}$). Quindi ci scriviamo il fascio di rette passante per quel punto:
r: y=m(x-$x_{0}$)+$y_{0}$
questa retta ora sarà la nostra restrizione del dominio. Ora abbiamo la funzione $f_{r}$ che ha dominio la retta r; quindi il nostro limite diventa:
$\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}{f(x,y)}$=$\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}{f(x,m(x-x_{0})+y_{0})}$
ora possono succedere due casi:
- svolgi il limite e il risultato ti esce dipendente da m, cioè dal coefficiente angolare, questo implica che il limite non esiste.
(questo lo puoi immaginare molto semplicemente, pensa che il coefficiente angolare è quel valore che ci identifica la pendenza della retta 'r', ora se noi possiamo scegliere la pendenza come vogliamo noi c'è un problema. Infatti se tu ti fissi due punti f(x,y) e f($x_{0}$,$y_{0}$) tra questi due punti passa una sola retta non infinite e quindi il limite non esiste).
- se il risultato non dipende da m allora tristemente non possiamo affermare nulla sul limite.
dimostrare che un limite esiste
Qui invece si usa il metodo delle coordinate polari. Però prima di esportelo voglio scriverti qualcosina in più.
Sia f una funzione definita in un intervallo I$\subset$$R^{2}$ e ($x_{0}$,$y_{0}$) un punto di accumulazione dell'intervallo I:
se il limite esiste e converge ad 'l' allora per la definizione di limite abbiamo che:
| f(x,y)-l |$\le$ $\epsilon$
quindi per capire se converge possiamo applicare due tecniche:
- TECNICA DELLA MAGGIORAZIONE:
possiamo cercare di maggiorare | f(x,y)-l | tramite una funzione h(x,y) nel seguente modo:
| f(x,y)-l |$\le$ h(x,y)
se il limite
$\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}{h(x,y)}$=0
allora
$\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}{f(x,y)}$= l
- TECNICA DELLE COORDINATE POLARI
qui lo scopo è scrivere le coordinate (x,y) tramite le coordinate polari, cioè:
(x,y)=(p cos($\theta$), p sen ($\theta$) )
Ora noi abbiamo che:
| f(x,y) - l |=| f(p cos($\theta$), p sen ($\theta$) ) - l |
Quindi abbiamo che f(x,y) converge in 'l' se esiste una funzione g(p), dipendente solo da p:
| f($x_{0}$+p cos($\theta$), $y_{0}$+p sen ($\theta$) ) - l |$\le$ g(p)
se il limite:
$\lim_{p\to 0}{g(p)}$=0
allora
$\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}{f(x,y)}$= l
Ora provo a farti un esempio:
studiamo
$\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}{f(x,y)}$=$\lim_{(x,y)\to(0,0)}{\frac{yx^{2}}{x^{2}+y^{2}}}$
Il primo passaggio che dobbiamo fare è quello di verificare se non esiste il limite, quindi, ci costruiamo la retta r:
r: y=m(x-$x_{0}$)+$y_{0}$=mx
poiché ($x_{0}$,$y_{0}$)= (0,0)
quindi:
$\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}{f(x,y)}$=$\lim_{x\to 0}{f(x,mx)}$=$\lim_{x\to 0}{\frac{mxx^{2}}{x^{2}+(mx)^{2}}}$=$\lim_{x\to 0}{\frac{mx^{3}}{x^{2}+m^{2}x^{2}}}$=$\lim_{x\to 0}{\frac{mx}{1+m^{2}}}$=0
quindi possiamo affermare con certezza che non sappiamo nulla su questo limite poiché i risultato non dipende da 'm'.
Abbiamo che il candidato limite è l=0.
quindi andiamo ad applicare una delle due tecniche che ho scritto.
TECNICA 1 | f(x,y)-l |$\le$ h(x,y)
| f(x,y)-l |= | $\frac{y x^{2}}{x^{2}+y^{2}}$ - 0 |
possiamo osservare che $\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}$$<$ 1 poiché $x^{2}$+$y^{2}$ $>$ $x^{2}$}, quindi possiamo maggiorare:
| f(x,y)-l |= | $\frac{y x^{2}}{x^{2}+y^{2}}$ - 0 |$\le$ | y |= h(x,y)
$\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}{h(x,y)}$=0 è verificato allora abbiamo la tesi.
TECNICA 2
(x,y)=(p cos($\theta$), p sen ($\theta$) )
allora:
| f($x_{0}$+p cos($\theta$), $y_{0}$+p sen ($\theta$) ) - l | =| $\frac{(p sen (\theta)) (p cos(\theta))^{2}}{(p cos(\theta))^{2} + (p sen (\theta))^{2}}$ | = se fai un po di conti = |$\frac{p^{3} (cos(\theta))^{2} sen (\theta)}{p^{2} ((cos(\theta))^{2}+ (sen(\theta))^{2}) }$ | $\le$ p= g(p)
$\lim_{p to 0}{g(p)}$=0
allora f(x,y) converge a l=0
non so se sono stato chiaro, spero di si
