Limiti

Es 9

Solo un esercizio per richiesta. Ri-posta l'altro.

11.

Un punto x₀ è di accumulazione per l'insieme non vuoto A se per ogni raggio r > 0 nell'intervallo (x₀-r, x₀+r) \ {x₀} cade almeno un punto di A. Espresso in termini simbolici

$ \forall r \gt 0; \quad \exists a \in A \quad | \quad a \in (x₀-r, x₀+r) \setminus {x₀}$

Nel nostro caso

3 è un punto di accumulazione per $A = \{a \, | \, a=3+\frac{2}{n}; \; n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\}$

se $ \forall r \gt 0; \quad \exists \hat a \in A \quad | \quad \hat a \in (3-r, 3+r) \setminus \{3\}$

Si tratta di partire dall'ultima disequazione  e di trovare almeno un valore di $\hat a$ nella quale è verificata.

$3-r < 3 + \frac{2}{n} < 3+r $

la prima disequazione è banalmente verificata. Rimane la seconda

$ 3 + \frac{2}{n} < 3+r $

$\frac{2}{n} < r $

$ \bar n > \frac{2}{r} $

Il punto $ \hat a = 3 + \frac{2}{\bar n}$ la verifica, quindi 3 è un punto di accumulazione.

e per finire una veloce verifica. Se scegliamo r = 1/200 allora un n > 100 possiede un a corrispondente che cade nell'intervallo  (3-1/200, 3+1/200) infatti scegliamo n = 101 a cui corrisponde $ \hat a = 3 + \frac{2}{101}$ che sicuramente è all'interno dell'intervallo il cui estremo superiore è 3 + 1/100.