Limiti

 299)

f(x) =  2 / {2 - 2 ^[(x -1)/x]}

lim x → + ∞ f ( x );

consideriamo l'esponente (x - 1) / x

 lim x → + ∞ [(x - 1) / x] =  lim x → + ∞[1 - 1/x] = 1;

f(x) diventa:

2 / {2 - 2 ^1} = 2/0;

2/0 = + ∞;

lim x → + ∞ f ( x ) = + ∞ 

uno alla volta!

ciao @muachettini

300

(√(x + 3) - √(5 - x))/(√(1 + x) - √2)

per x-->1 :  il limite ha la forma (0/0)

Razionalizzo il denominatore:

√(1 + x) + √2 è il fattore razionalizzante per cui a denominatore abbiamo:

(√(1 + x) - √2)·(√(1 + x) + √2) = x - 1

Quindi ci riportiamo al calcolo del limite:

LIM((√(x + 3) - √(5 - x))·(√(x + 1) + √2)/(x - 1))

x---> 1

Siccome il limite:

LIM(√(x + 1) + √2) =2·√2

x---> 1

e siccome: (√(x + 3) - √(-x + 5))·(√(x + 3) + √(-x + 5)) = 2·x - 2

sarà sufficiente calcolare il limite per x---> 1 di:

(2·x - 2)/((x - 1)·(√(x + 3) + √(-x + 5))) = 2/(√(x + 3) + √(-x + 5))

che assume forma:

2/(√(1 + 3) + √(-1 + 5)) = 1/2

per cui dal prodotto di tali limiti risulta:

2·√2·1/2 = √2

La regola prevede un solo esercizio per richiesta. 

Affronto l'esercizio n° 300. 

$ \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - \sqrt{5-x}} {\sqrt{1+x} - \sqrt{2}} = $

razionalizziamo rispettivamente il numeratore e il denominatore moltiplicando e dividendo rispettivamente per 

$\sqrt{x+3} + \sqrt{5-x} $ e per $\sqrt{1+x} + \sqrt{2}$.

Per semplificare la notazione useremo la formula della differenza di quadrati

$ = \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x+3 - 5 + x}{1+x-2} \frac {\sqrt{1+x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x+3} + \sqrt{5-x}} = $ 

$ = \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{2(x-1)}{x-1} \frac {\sqrt{1+x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x+3} + \sqrt{5-x}} = $

Semplifichiamo il termine (x-1)

$ = \displaystyle\lim_{x \to 1} 2 \frac {\sqrt{1+x} + \sqrt{2}}{\sqrt{x+3} + \sqrt{5-x}} = \frac {4\sqrt{2}} {2+2} =  \sqrt{2} $