Limiti

Problema:

Determina per quali valori di $a \in \mathbb{R}$ esistono i seguenti limiti e calcolali:

(i) $\lim_{x \rightarrow -∞} (\sin x +a)e^x$

(ii) $\lim_{x \rightarrow +∞} (\sin x +a)e^x$

Soluzione:

(i) Il limite esiste per ogni $a \in \mathbb{R}$ dato che si presenterebbero i seguenti casi: $k\cdot 0=0^-, k<0$, $k \cdot 0=0^+, k>0$, $k \cdot 0= 0, k=0$.

$\lim_{x \rightarrow -∞} (\sin x +a)e^x=\lim_{x \rightarrow -∞} \frac{\sin x +a}{e^{-x}}=\lim_{x \rightarrow +∞} e^{-x}=0$ 

(ii) Poiché vi è la forma indeterminata $0 \cdot ∞$, è necessario porre $\sin x +a ≠0$, dato che $|\sin x|≤1$ per non avere problemi di alcun tipo è opportuno porre $a<-1 \vee a>1 \rightarrow |a|>1$.

Se $\sin x + a>0$, allora:

$\lim_{x \rightarrow +∞} (\sin x +a)e^x=\lim_{x \rightarrow +∞} e^x=+∞$

Se $\sin x +a<0$, allora:

$\lim_{x \rightarrow +∞} (\sin x +a)e^x=\lim_{x \rightarrow +∞} -e^x=-∞$