Limiti

L’immagine mostra il seguente limite:

\lim_{{x \to +\infty}} \arctan x = \frac{\pi}{2}

Spiegazione e argomentazione

La funzione \arctan x (arcotangente di x) è la funzione inversa della tangente, definita per tutti i numeri reali x con valori compresi tra -\frac{\pi}{2} e \frac{\pi}{2}.

1. Comportamento per x \to +\infty

• La funzione \arctan x è crescente e tende asintoticamente al valore \frac{\pi}{2}.

• Questo significa che per valori molto grandi di x, \arctan x si avvicina sempre di più a \frac{\pi}{2} senza mai superarlo.

2. Dimostrazione del limite

Consideriamo la definizione di limite:

\forall \varepsilon > 0, \quad \exists M > 0 \quad \text{tale che} \quad x > M \Rightarrow \left| \arctan x - \frac{\pi}{2} \right| < \varepsilon.

Poiché \arctan x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{x} + o\left(\frac{1}{x}\right) per x grande, si può sempre trovare un valore sufficientemente grande di x affinché la distanza tra \arctan x e \frac{\pi}{2} sia minore di un qualsiasi \varepsilon dato.

3. Interpretazione dell’intervallo x > \tan \left( \frac{\pi}{2} - \varepsilon \right)

• L’espressione nel rettangolo blu indica la condizione su x affinché \arctan x sia sufficientemente vicino a \frac{\pi}{2}.

• Poiché \tan y è crescente, scegliendo y = \frac{\pi}{2} - \varepsilon, otteniamo un valore di x sufficientemente grande affinché \arctan x sia nell’intorno desiderato di \frac{\pi}{2}.

Conclusione

Il limite è corretto e si giustifica con il comportamento asintotico della funzione \arctan x, che cresce indefinitamente avvicinandosi sempre di più a \frac{\pi}{2}. L’intervallo riportato fornisce una condizione su x affinché la funzione sia arbitrariamente vicina a \frac{\pi}{2}, in accordo con la definizione di limite.