Calcola il limite dell’integrale definito, spiegando il ragionamento ed argomentare.
Calcola il limite dell’integrale definito, spiegando il ragionamento ed argomentare.
6177
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Livello 2
Maggioriamo e minoriamo l'integranda, integriamo mantenendo le disequazioni per la monotonia dell'integrale dividiamo per x² e concludiamo passando al limite
$ 1-x^2 \le e{-x^2} \le 1+x^2 $ disequazione valida per ogni x reale
integriamo
$ x^2- \frac{x^6}{3} \le \int_0^{x^2} e^{-t^2} \, dt \le x^2 + \frac{x^6}{3} $
dividiamo per x²
$ 1 - \frac{x^4}{3} \le \frac{\int_0^{x^2} e^{-t^2} \, dt}{x^2} \le x^2 + \frac{x^4}{3} $
osserviamo che passando al limite, per x → 0 le funzioni esterne tendono ambedue a 1
Per il teorema del confronto a 3 (dei due carabinieri) possiamo concludere che
$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^{x^2} e^{-t^2} \, dt}{x^2} = 1 $
14067
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Livello 5