Limiti

Osserviamo che l'integrale può essere scritto come

$ x - \int_0^x e^{t^3} \, dt = \int_0^x 1 - e^{t^3} \, dt $

si tratta di trovare dei maggioranti e dei minoranti della funzione integranda atti allo scopo. Dico che le seguenti disequazioni sono valide in un intorno dello zero in particolare nell'intervallo [-1, 1]

$ -1-x^3 \le 1-e^{t^3} \le 1-x^3 $

per la monotonia dell'integrale, nell'intorno specificato saranno valide anche

$ -x-\frac{x^4}{4} \le  \int_0^x 1 - e^{t^3} \, dt \le x-\frac{x^4}{4} $

dividiamo per x⁴ per poi passare al limite

$ -\frac{1}{x^3} - \frac{1}{4} \le \frac{ \int_0^x 1 - e^{t^3} \, dt}{x^4} \le \frac{1}{x^3} - \frac{1}{4} $

Osserviamo che per x → 0 le funzioni esterne tendono entrambe a $-\frac{1}{4}$ possiamo così concludere, per i due carabinieri, che

$  \displaystyle\lim_{x \to +0} \frac{ x - \int_0^x e^{t^3} \, dt}{x^4} = -\frac{1}{4} $