Calcola il limite dell’integrale definito, spiegando il ragionamento ed argomentare.
Calcola il limite dell’integrale definito, spiegando il ragionamento ed argomentare.
6177
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Livello 2
Maggioriamo e minoriamo l'integranda per poi integrale i tre membri delle disequazioni. Di seguito concludiamo con il limite.
$ x^2 \le \sqrt{1+x^4} \le x^2 + 1 $
integriamo, ricordiamo la proprietà di monotonia dell'integrale
$ \frac{x^3}{3} \le \int_0^x \sqrt{1+t^4} \, dt \le \frac{x^3}{3} + x $
dividiamo per x³
$ \frac{1}{3} \le \frac{\int_0^x \sqrt{1+t^4} \, dt}{x^3} \le \frac{1}{3} + \frac{1}{x^2} $
Passando al limite per x → ∞ entrambi gli esterni convergono a $\frac{1}{3}$ per il teorema del confronto a tre (2 carabinieri) possiamo concludere che
$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{ \int_0^x \sqrt{1+t^4} \, dt}{x^3} = \frac{1}{3} $
14064
punti
Livello 5