Calcola il limite dell’integrale definito, spiegando il ragionamento ed argomentare.
Calcola il limite dell’integrale definito, spiegando il ragionamento ed argomentare.
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Livello 2
Problema:
Calcola il seguente limite:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \sin³ t dt}{x⁴}$
Soluzione:
Per sostituzione si giunge alla forma $\frac{0}{0}$, poiché le funzioni coinvolte rispettano le ipotesi del teorema di de l'Hôpital, si ha:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \sin³ t dt}{x⁴}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin³ x }{x⁴}$
Per le tendenze asintotiche si ha che per $\epsilon (x) \rightarrow 0, \sin \epsilon (x) \approx \epsilon (x)$ e dunque:
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin³ x }{x⁴}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x³}{x⁴}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}=+∞$
3518
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Livello 5