limiti

Forma indeterminata del tipo 0/0

Userò dei derivati di limiti notevoli che intuisco essere validi, lascio a te l'incarico di dimostralo.

$ = \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{3ln(x) + sin(2\pi x)}{1-\sqrt{2-x}} = $

Razionalizzo il denominatore con il termine $ 1+\sqrt{2-x} $

$ = \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{[3ln(x) + sin(2\pi x)] ( 1+\sqrt{2-x}) }{x-1} = $

$ = \displaystyle\lim_{x \to 1} [\frac{3ln(x)}{x-1} + \frac{ sin(2\pi x)}{2\pi(x-1)} \cdot 2\pi] ( 1+\sqrt{2-x}) =  [3 + 2\pi ] 2 = 6 + 4\pi $

L'intuizione da dimostrare fa capo ai seguenti limiti

• $ \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{ln(x)}{x-1} = 1 $
• $ \displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{ sin(2\pi x)}{2\pi(x-1)} = 1 $

si tratta di usare la sostituzione ma, senza teoremi, non resta che l'intuizione.