limiti

SIN(x)^2/(1 - √(COS(x) - x^2))=

=(SIN(x)^2/x^2) / ((1 - √(COS(x) - x^2))/x^2)=

Analizziamo il N(x) ed il D(x):

SIN(x)^2/x^2 = (SIN(x)/x)^2

LIM(SIN(x)^2/x^2) = 1 

x → 0

Analizziamo il D(x)

(1 - √(COS(x) - x^2))/x^2

razionalizziamo il numeratore:

(1 - √(COS(x) - x^2))·(1 + √(COS(x) - x^2))/(x^2·(1 + √(COS(x) - x^2)))=

=(- COS(x) + x^2 + 1)/(x^2·(1 + √(COS(x) - x^2)))

che scriviamo come:

(1 - COS(x))/(x^2·(1 + √(COS(x) - x^2))) +

+x^2/(x^2·(1 + √(COS(x) - x^2)))

abbiamo quindi due limiti:

LIM((1 - COS(x))/(x^2·(1 + √(COS(x) - x^2))))=1/4

x → 0

LIM(x^2/(x^2·(1 + √(COS(x) - x^2))))=1/2

x → 0

Il limite del denominatore della frazione data vale quindi:

1/4 + 1/2 = 3/4

Quindi fai il rapporto:

1/(3/4) = 4/3

che è il limite richiesto.

(ricordati i limiti notevoli)