Limiti

Magari é più semplice studiarlo come

lim_x->+oo 2^[sqrt(x^2 - 1) - sqrt(x-1)] =

= 2^[ lim_x->+oo sqrt(x^2) - sqrt(x) ] =

= 2^[ lim_x->+oo |x| - sqrt(x) ] =

= 2^ [ lim_x->+oo (x - sqrt(x)) ] =

= 2^ [ lim_x->+oo  sqrt(x) * (sqrt(x) - 1) ] =

= "2^(+oo*(+oo))" = +oo

Forma indeterminata del tipo ∞-∞

Osserviamo che per quanto riguarda l'ordine di infinito

$ \sqrt{x+1} \ll \sqrt{x^2-1} $

se non si vede dimostriamolo

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x+1}} = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x-1} = +\infty$

eliminando gli infiniti di ordine inferiore possiamo concludere direttamente

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^{-\sqrt{x^2-1}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{-\infty} = +\infty $