Limiti

Analisi del limite:

* Numeratore: Quando x si avvicina a π, (x-π) tende a 0. Il seno di π è 0. Quindi il numeratore tende a 0*0 = 0.

* Denominatore: Quando x si avvicina a π, cos(x) tende a -1. Quindi (1+cos(x))^2 tende a (1-1)^2 = 0.

Abbiamo quindi una forma indeterminata 0/0.

Soluzione:

Per uscire da questa situazione, proviamo a riscrivere il limite in una forma più maneggevole. Usiamo la formula di duplicazione del seno: sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Possiamo riscrivere il nostro limite come:

lim_(x->π) (x-π) * (2sin(x/2)cos(x/2)) / (2cos^2(x/2))^2

Semplificando:

lim_(x->π) (x-π) * sin(x/2) / (2cos^3(x/2))

Ora, introduciamo una nuova variabile t = x-π. Quando x tende a π, t tende a 0. Sostituendo:

lim_(t->0) t * sin((t+π)/2) / (2cos^3((t+π)/2))

Usando le formule di addizione per seno e coseno:

lim_(t->0) t * cos(t/2) / (-2sin^3(t/2))

Ora, possiamo dividere numeratore e denominatore per t/2:

lim_(t->0) (cos(t/2) / (sin(t/2)/ (t/2))) / (-2sin^2(t/2))

Sappiamo che il limite di sin(x)/x per x tendente a 0 è 1. Quindi:

lim_(t->0) cos(t/2) / (-2sin^2(t/2))

Quando t tende a 0, cos(t/2) tende a 1 e sin(t/2) tende a 0. Quindi il limite è:

1 / (-2*0^2) = 1/0

Conclusione:

Il limite diverge a infinito negativo.

Forma indeterminata del tipo 0/0.

dalle formule degli angoli associati ricaviamo

$ \displaystyle\lim_{x \to \pi} \frac{(x-\pi)sinx}{(1+cosx)^2} = $

$ \displaystyle\lim_{x \to \pi} \frac{-(\pi-x)sin(\pi-x)}{(1+cos(\pi-x))^2} = $

$ \displaystyle\lim_{x \to \pi} -\frac{(\pi-x)^2 \frac{sin(\pi-x)}{\pi-x}}{(1+cos(\pi-x))^2} = $

$ \displaystyle\lim_{x \to \pi} -\frac{sin(\pi-x)}{\pi-x} \cdot \frac{(\pi-x)^2}  {(1+cos(\pi-x))^2} =  - 1 \cdot +\infty = -\infty $