Limiti

Riconosciamo una forma indeterminata:

Quando cerchiamo di sostituire direttamente +∞ al posto di x, otteniamo una forma indeterminata del tipo 1^∞. Questo significa che non possiamo determinare il valore del limite in questo modo e dobbiamo ricorrere ad altri metodi.

Utilizziamo la proprietà del numero di Nepero (e):

Ricordiamo che il numero di Nepero (e) è definito come il limite:

e = lim (h → 0) (1 + h)^(1/h)

Manipoliamo il nostro limite:

Possiamo riscrivere il nostro limite in una forma simile a quella della definizione di e:

lim (x → +∞) (1 + 4/x)^x = lim (x → +∞) [(1 + (4/x))^(x/4)]^4

Ora, ponendo h = 4/x, notiamo che quando x → +∞, anche h → 0. Quindi, possiamo riscrivere il limite come:

lim (h → 0) [(1 + h)^(1/h)]^4

Applichiamo la definizione di e:

Dal momento che il limite interno corrisponde alla definizione di e, otteniamo:

e^4

Conclusione:

Quindi, il limite proposto è uguale a e^4.

Risposta:

La risposta corretta è quindi la A.