Limiti

LIM((x/(x + 3))^x = ???

x--> +∞

Scrivi la funzione:

(x/(x + 3))^x = (1 - 3/(x + 3))^x

Quindi ti servi del limite notevole:

LIM((1 + α/x)^x = e^α

x--> +∞

quindi deduci che:

LIM((x/(x + 3))^x =

x--> +∞

=(1 - 3/(x + 3))^x =e^(-3)

x--> +∞

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x}{x+3}\right)^x = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x+3-3}{x+3}\right)^x =\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1-\frac{3}{x+3}\right)^x = $

Cambio variabile. Poniamo $t = x+3 \; ⇒ \; x = t - 3; $   inoltre se x→+∞ allora t→+∞

$ \displaystyle\lim_{t \to +\infty} \left(1-\frac{3}{t}\right)^{t-3} = \displaystyle\lim_{t \to +\infty} \frac{\left(1-\frac{3}{t}\right)^t}{\left(1-\frac{3}{t}\right)^3} = $  

• Il denominatore tende a 1.
• Il numeratore tende a e^{-3} (è una generalizzazione del limite notevole con cui si definisce "e")

$ = e^{-3} = \frac{1}{e^3} $

P.S.

Nel caso che, non sia noto il limite al denominatore, proviamolo.

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1-\frac{3}{x}\right)^x = e^{-3} $

Cambio variabile $ y = -\frac{x}{3} \; ⇒ \; x = -3y $    inoltre se x →+∞  allora  y →-∞

$ \displaystyle\lim_{y \to -\infty} \left(1+\frac{1}{y}\right)^{-3y} = e^{-3} $

$ \displaystyle\lim_{y \to -\infty} \left[\left(1+\frac{1}{y}\right)^y\right]^{-3} = e^{-3} $