Il limite:
LIM((SIN(x) - COS(x))/TAN(pi/8 - x/2))
x → pi/4
Ha forma indeterminata (0/0):
(SIN(pi/4) - COS(pi/4))/TAN(pi/8 - pi/4/2)=
=(√2/2 - √2/2)/TAN(0) = 0/0
Applichiamo quindi De L'Hopital
N'(x)=COS(x) + SIN(x)
D'(x)=1/COS(pi/8 - x/2)^2·(- 1/2)=
- 1/(2·COS(pi/8 - x/2)^2)
Quindi:
COS(pi/4) + SIN(pi/4)=√2
- 1/(2·COS(pi/8 - pi/4/2)^2)= - 1/2
Quindi risulta:
LIM((SIN(x) - COS(x))/TAN(pi/8 - x/2))=√2/(- 1/2)= - 2·√2
x → pi/4
Il limite si potrebbe risolvere anche senza usare la regola di De Hopital, con degli opportuni artifici che facciano comparire i due limiti notevoli lim x-- >x(o) [sinf(x)]/f(x) = 1 e [tanf(x)]/f(x) = 1 se per x--->x(o) f(x(o)) = 0 in modo da togliere l'indeterminazione 0/0.