Consideriamo la funzione:
\[f(x,y) =\begin{cases}
\frac{x^2 y}{x^4 + y^2} & \text{se } (x,y) \neq (0,0) \\
0 & \text{se } (x,y) = (0,0)
\end{cases}\]
Convertiamo la funzione in coordinate polari:
\[x = r \cos(\theta) \qquad y = r \sin(\theta)\]
La funzione diventa:
\[f(r,\theta) = \frac{(r \cos(\theta))^2 (r \sin(\theta))}{(r \cos(\theta))^4 + (r \sin(\theta))^2}\]
\[f(r,\theta) = \frac{r^3 \cos^2(\theta) \sin(\theta)}{r^4 \cos^4(\theta) + r^2 \sin^2(\theta)} = \frac{r^3 \cos^2(\theta) \sin(\theta)}{r^2 (r^2 \cos^4(\theta) + \sin^2(\theta))}\]
\[f(r,\theta) = \frac{r^3 \cos^2(\theta) \sin(\theta)}{r^2 \sin^2(\theta) (1 + r^2 \cos^4(\theta)/\sin^2(\theta))} =\]
\[= \frac{r \cos^2(\theta) \sin(\theta)}{\sin^2(\theta) (1 + r^2 \cos^4(\theta)/\sin^2(\theta))}\]
Calcolando il limite
\[\lim_{r \to 0} \frac{r \cos^2(\theta)}{\sin(\theta)} = 0\,.\]
Considerando ora la curva $y = mx^2$
\[\lim_{x \to 0} \frac{x^2 (mx^2)}{x^4 + (mx^2)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{mx^4}{x^4 + m^2 x^4} =\]
\[= \lim_{x \to 0} \frac{mx^4}{x^4 (1 + m^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{mx^4}{x^4 + m^2 x^4} = \frac{m}{1 + m^2}\,.\]
Esso dipende dal valore di $m\,$, il che implica che il limite dipende dalla direzione lungo cui ci si avvicina alla regione topologica; ergo che non esiste il limite generale.
In generale, le coordinate polari forniscono informazioni circa percorsi lineari: per verificare la non esistenza del limite generale, dovresti valutare anche quelli non lineari per identificare eventuali inconsistenze.