[Risolto] Limite funzioni due variabili con coordinate polari

Consideriamo la funzione:

\[f(x,y) =\begin{cases}
\frac{x^2 y}{x^4 + y^2} & \text{se } (x,y) \neq (0,0) \\
0 & \text{se } (x,y) = (0,0)
\end{cases}\]

Convertiamo la funzione in coordinate polari:

\[x = r \cos(\theta) \qquad y = r \sin(\theta)\]

La funzione diventa:
\[f(r,\theta) = \frac{(r \cos(\theta))^2 (r \sin(\theta))}{(r \cos(\theta))^4 + (r \sin(\theta))^2}\]

\[f(r,\theta) = \frac{r^3 \cos^2(\theta) \sin(\theta)}{r^4 \cos^4(\theta) + r^2 \sin^2(\theta)} = \frac{r^3 \cos^2(\theta) \sin(\theta)}{r^2 (r^2 \cos^4(\theta) + \sin^2(\theta))}\]

\[f(r,\theta) = \frac{r^3 \cos^2(\theta) \sin(\theta)}{r^2 \sin^2(\theta) (1 + r^2 \cos^4(\theta)/\sin^2(\theta))} =\]

\[= \frac{r \cos^2(\theta) \sin(\theta)}{\sin^2(\theta) (1 + r^2 \cos^4(\theta)/\sin^2(\theta))}\]

Calcolando il limite

\[\lim_{r \to 0} \frac{r \cos^2(\theta)}{\sin(\theta)} = 0\,.\]

Considerando ora la curva $y = mx^2$

\[\lim_{x \to 0} \frac{x^2 (mx^2)}{x^4 + (mx^2)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{mx^4}{x^4 + m^2 x^4} =\]

\[= \lim_{x \to 0} \frac{mx^4}{x^4 (1 + m^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{mx^4}{x^4 + m^2 x^4} = \frac{m}{1 + m^2}\,.\]

Esso dipende dal valore di $m\,$, il che implica che il limite dipende dalla direzione lungo cui ci si avvicina alla regione topologica; ergo che non esiste il limite generale.

In generale, le coordinate polari forniscono informazioni circa percorsi lineari: per verificare la non esistenza del limite generale, dovresti valutare anche quelli non lineari per identificare eventuali inconsistenze.

Perché:

utilizzando y=mx^2 ?

LIM(x^2·(m·x)/(x^4 + (m·x)^2)) = 0

x---> 0

Poi:

{x = ρ·COS(t)

{y = ρ·SIN(t)

z = (ρ·COS(t))^2·(ρ·SIN(t))/((ρ·COS(t))^4 + (ρ·SIN(t))^2)

z = ρ·SIN(t)·COS(t)^2/(ρ^2·COS(t)^4 + SIN(t)^2)

LIM(ρ·SIN(t)·COS(t)^2/(ρ^2·COS(t)^4 + SIN(t)^2))= 0

ρ---> 0

Stai sereno, non hai nessun problema con questa funzione!
Ce l'hai invece, e piuttosto ingombrante, col significato di "considerando tutte le direzioni di avvicinamento a quel punto"; se quel punto è l'origine allora per considerare tutte le direzioni devi usare
* x = 0 oppure y = m*x
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Se però tu calcoli il limite in (0,0) "utilizzando y=mx^2" ottieni un paio di gravi errori.
1) Errore di matematica: la direzione si rappresenta con una retta, non con una parabola.
2) Errore di italiano: "utilizzare" significa "usare in modo utile", non "usare per commettere errori".
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"e quindi in generale il limite non esiste" risulta "una sullenne minchiata" (© Camilleri).
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La tua domanda è: "Come posso accorgermene ... che il limite non esiste?" NON PUOI, perché il limite esiste.
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* f(x, y) = 0 se (x, y) = (0, 0) oppure F(x, y)
* F(x, y) = y*x^2/(x^4 + y^2)
in particolare, per (x, y) != (0, 0)
* F(0, y) = 0
* F(x, 0) = 0
* F(x, m*x) = m*x/(m^2 + x^2)
* lim_(x → 0) F(x, m*x) = 0

@Pietro_gladiosi e p.c. @Enrico_Bufacchi @LucianoP
Ullallà!
Da fonte fededegna
http://www.wolframalpha.com/input?i=lim_%28%28x%2Cy%29%E2%86%92%280%2C0%29%29y*x%5E2%2F%28x%5E4--y%5E2%29
mi si dice che in effetti non esiste quel limite.
Evidentemente "una sullenne minchiata" era la mia.
Chiedo scusa.

• $\displaystyle\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {x^2y}{x^4+y^2}= $

questo limite non esiste.

• Se passo alle polari ottengo 

$\displaystyle\lim_{(r,θ) \to (0,0)} \frac {rcos^2(θ)}{sin(θ)}= $

e anche questo limite non esiste.

Nessuna incoerenza. 

Ma, ... il limite

$\displaystyle\lim_{r \to 0} \frac {rcos^2(θ)}{sin(θ)}= 0, \qquad \text {laddove definito} $

Non è corretto, senza averlo giustificato, passare da un limite di una funzione a due variabili ad una funzione di una sola variabile.