Buongiorno a tutti, qualcuno mi può aiutare a risolvere questo esercizio con il metodo del criterio del rapporto per
successioni ?
Buongiorno a tutti, qualcuno mi può aiutare a risolvere questo esercizio con il metodo del criterio del rapporto per
successioni ?
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Livello 1
Zero.
Infatti lim_n->oo a(n+1)/a(n) = lim_n->oo (n+1)!(n+1)/3^(n+1)^2 * 3^(n^2)/(n!n) =
= lim_n->oo (n+1)/n * lim_n-> oo (n+1)/3^(2n+1) = 1*0 = 0
e quindi la successione data é definitivamente maggiorata da una progressione
geometrica con ragione q < 1 che converge a 0 : pertanto anch'essa converge a 0.
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Livello 7
@eidosm Ciao, Grazie mille per avermi risposto, con il metodo del criterio del rapporto per
successioni come hai fatto a capire che lim n->oo (n+1)/3^(2n+1) = 0 ? grazie mille
Ci rifacciamo al lim_n->oo n/a^n (a = 9 nel nostro caso, con a > 1) ottenuto trascurando
nelle somme gli addendi che non vanno a infinito. A rigore, anche questo limite si può
verificare provando che lim_n->oo (n+1)/a^(n+1) * a^n/n = lim_n->oo (n+1)/n *
lim_n->oo 1/a = 1*1/a = 1/a < 1.
Allora la nostra successione n/a^n é definitivamente maggiorata da una progressione
geometrica infinitesima e quindi é infinitesima. Le radici ultime del modo in cui ciò
conduce al risultato risiedono nell'uso del Teorema dei Carabinieri
0 < a(n) < L^(n-no) a(no) per n > no comporta lim_n->oo a(n) = 0
@eidosm Grazie mille adesso ho capito