Limite con Taylor

E' un limite indeterminato del tipo 0/0

Valutiamo l'ordine di infinitesimo del denominatore.

• dallo sviluppo del (1-cos(x)) ≈ x^2 (ricordiamo il limite notevole) segue che (1-cos(x^2)) ≈ x^4.
  • Dobbiamo quindi valutare i termini che compaiono al numeratore sino al quarto ordine.
  • Possiamo avere conferma di quanto affermato in precedenza sviluppando con Taylor 
    • $cos(x^2)-1=-\frac{x^4}{2}+o(x^5)$
    • Per ottenere il risultato precedente puoi usare wolfram oppure ricorrere allo sviluppo di  1-cosx e di seguito moltiplicare per due gli esponenti delle x.

• Passiamo al numeratore. Sviluppiamo tutti i termini sino all'ordine 4 incluso.
  • $sin{x}^2=x^2+o(x^5)$
  • $-x(e^x-1)=-x^2-\frac{x^3}{2}-\frac{x^4}{6}+o(x^5)$
  • $\frac{1}{2}{x}^{2}ln(x+1)=\frac{x^3}{2}-\frac{x^4}{4}+o(x^5)$

• Riscriviamo il limite con i polinomi di Taylor corrispondenti e trascurando i vari $o(x^5)$

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2-x^2-\frac{x^3}{2}-\frac{x^4}{6}+\frac{x^3}{2}-\frac{x^4}{4}}{-\frac{x^4}{2}}=}$

$={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{-\frac{x^4}{6}-\frac{x^4}{4}}{-\frac{x^4}{2}}=}$

$={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{5}{12}{x}^4}{\frac{x^4}{2}}=}$

$=\frac{5}{6}$

Utilizzando la tabella

https://www.math.it/formulario/sviluppiMcLaurin.htm

e arrestando gli sviluppi all'ordine 4

( il denominatore é - (1 - cos (x^2))  = -1/2 (x^2)^2 = - x^4/2 )

risulta

lim_x->0 [ (x^2 - x^6/3! + o(x^6) - x ( x + x^2/2 + x^3/6 + o(x^3) +x^2/2 *(x - x^2/2 + o(x^2)) ]

diviso per - x^4/2

e semplificando

lim_x->0  [ x^2 + o(x^4) - x^2 - x^3/2 - x^4/6 + o(x^4) + x^3/2 - x^4/4 + o(x^4) ] : (-1/2 x^4) =

= lim_x->0 [ - x^4/6 - x^4/4 ] : [-x^4/2] = 1/3 + 1/2 = 5/6

e WIMS dice che é corretto