potete aiutarmi con questo limite? deve dare 'e' ma continuo ad ottenere 1
potete aiutarmi con questo limite? deve dare 'e' ma continuo ad ottenere 1
Ciao.
Esaminiamo dentro il modulo, un rapporto tra 2 potenze aventi lo stesso esponente pari ad n^2
Andiamo a calcolare preventivamente tale rapporto.
Essendo:
2 - 2/(n + 2) = (2·n + 2)/(n + 2)
-2 + 2/(n + 1) = - 2·n/(n + 1)
Il rapporto in esame è pari a:
(2·n + 2)/(n + 2)·(- (n + 1)/(2·n)) = - (n + 1)^2/(n·(n + 2))
Quindi ci siamo riportati al calcolo del limite:
ABS((- (n + 1)^2/(n·(n + 2)))^n^2) per n---> +inf
siccome il tutto è in valore assoluto, se consideriamo l'argomento, possiamo cambiare il segno e scrivere:
((n + 1)^2/(n·(n + 2)))^n^2= (((n^2 + 2·n) + 1)/(n^2 + 2·n))^n^2 =
=(1 + 1/(n^2 + 2·n))^n^2
Quindi:
LIM((1 + 1/(n^2 + 2·n))^n^2) = e
n--->+∞
Rapidamente
lim_n | (2 - 2/(n+2))^(n^2) /(- 2 + 2/(n+1))^n^2 | =
= lim_n 2^(n^2) / 2^(n^2) * lim_n ( 1 - 1/(n+2) )^(n^2)/(1 - 1/(n+1))^(n^2)
ora lim_n ( 1 - 1/(n+k) )^(n^2) =
= lim_n ( 1 - 1/(n+k) )^((n+k)* n^2/(n+k)) =
= [ lim_n ( 1 - 1/(n+k))^(n+k) ]^(lim_n n^2/(n+k) ) =
= (e^(-1))^(n^2/(n+k))
per cui il rapporto al secondo fattore va come
e^(-n^2/(n+2)) * e^(n^2/(n+1)) =
= e^[n^2/(n^2 + 3n+2) * ((n+2)-(n-1))] =
= e^[n^2/(n^2 + 3n + 2) ]
e il limite per n->oo é e^1 = e.