limite

Facciamo un po' di pulizia eliminando gli infiniti di ordine inferiore

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x} e^{arcsin(\frac{1}{x})} - \frac{2x^2}{2x} $

Semplifichiamo

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} x e^{arcsin(\frac{1}{x})} - x $

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} x \left[e^{arcsin(\frac{1}{x})} - 1 \right] $

Osserviamo che la funzione arcsin(1/x) converge asintoticamente con 1/x

$ arcsin (\frac{1}{x}) \sim (\frac{1}{x}) $

Infatti il limite del loro rapporto vale 1. Lo si può dimostrare con de l'Hôpital. Si ha così

$ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} x \left[e^{(\frac{1}{x})} - 1 \right] $

Un cambio di variabile. $ y = \frac{1}{x} $ per cui se x→+∞ allora y→0⁺

$ \displaystyle\lim_{y \to 0^+} \frac{e^y - 1 }{y} = 1 $

Quest'ultimo è un limite notevole.