limite

fermo restando che il risultato è effettivamente $-1$, io avrei semplicemente detto che $sin^2(1/x)$ lo maggioro con 1 e lo stesso faccio per $cos(1/x)$. 

a questo punto i termini in $x^3$ al numeratore e $x^2$ al denominatore li trascuro in quanto infinitesi di ordine superiore e rimane 

$-\frac{tan(x)}{sin(x)}$ che tende ovviamente a $-1$

Il risultato dovrebbe essere giusto

Consideriamo, separatamente, i limiti di due addendi.

• $ \displaystyle\lim_{x \to 0} x^3 \cdot sin^2(\frac{1}{x}) = 0 $ Infatti per confronto a due (due carabinieri) si ha
  • $ - x^3 \le x^3 \cdot sin^2(\frac{1}{x}) \le x^3$  
  • Per x→0 gli esterni tendono  a zero.
  • Con ordine di infinitesimo superiore a 1. 

• $ \displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 \cdot cos(\frac{1}{x}) = 0 $ Infatti per confronto a due (due carabinieri) si ha
  • $ -x^2 \le x^2 \cdot cos(\frac{1}{x}) \le x^2$       
  • Per x→0 gli esterni tendono  a zero.
  • Con ordine di infinitesimo superiore a 1. 

La tangente e il seno hanno ordine di infinitesimo pari a 1. I limiti notevoli ne sono la dimostrazione. 

$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x^3 \cdot sin^2(\frac{1}{x} + tanx}{x^2 \cdot cos(\frac{1}{x}) - sin x = $

Eliminiamo gli infinitesimi di ordine superiore a 1, il limite si riduce a

$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{tan x}{-sin x} = -1 $