limite

Nota che per $x\rightarrow +\infty$, la frazione tende a 0, per cui possiamo usare l'espansione di McLaurin dell'eponenziale:

$\exp(z) = 1+z+z^2+o(z^2)$

ci fermiamo al secondo ordine visto che le altre potenze sono tutte al massimo alla seconda.

Sostituendo la frazione abbiamo.

$\exp\left(\frac{x+3}{x^2-4}\right) \approx 1+\left(\frac{x+3}{x^2-4}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x+3}{x^2-4}\right)^2+o(\frac{1}{x}^2)$

Ricorda che $x\rightarrow +\infty$ quindi stiamo espandendo rispetto a $1/x$, che compare nell'infinitesimo.

Facendo un po' di conti:

$\exp\left(\frac{x+3}{x^2-4}\right) \approx 1+\frac{x+3}{x^2-4}+\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+6x+9}{x^4-8x^2+16}\right) +o(\frac{1}{x}^2)$

Facciamo un po' di pulizia tra i termini che hanno potenze più alte di $(1/x)^2$.

Ad esempio nella frazione

$\frac{x^2+6x+9}{x^4-8x^2+16} = \frac{x^2}{x^4-8x^2+16}+\frac{6x}{x^4-8x^2+16}+\frac{9}{x^4-8x^2+16}$

solo la prima frazione $\rightarrow \frac{x^2}{x^4} = \frac{1}{x^2}$, le altre, asintoticamente, tendono a potenze maggiori, che quindi sono trascurabili.

Ci rimane dunque solo:

$\exp\left(\frac{x+3}{x^2-4}\right) \approx 1+\frac{x+3}{x^2-4}+\frac{1}{2x^2}$

che riscrivo come:

$\exp\left(\frac{x+3}{x^2-4}\right) \approx 1+\frac{x}{x^2-4}+\frac{3}{x^2-4}+\frac{1}{2x^2}$

approssimando ancora abbiamo:

$\exp\left(\frac{x+3}{x^2-4}\right) \approx 1+\frac{x}{x^2}+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{2x^2}$

e sommando:

$\exp\left(\frac{x+3}{x^2-4}\right) \approx 1+\frac{1}{x}+\frac{7}{2x^2}$

Ora torniamo al limite, in cui sostituisco lo sviluppo asintotico:

$\lim_{x\rightarrow +\infty} x^2 (1+\frac{1}{x}+\frac{7}{2x^2})-x^2-x$

$\lim_{x\rightarrow +\infty} x^2 +x+\frac{7}{2}-x^2-x = \frac{7}{2}$

Noemi