12
punti
Livello 0
Si risolve banalmente tramite stima asintotica di Landau:
\[\lim_{x\to\infty} \left(1 + x - \sqrt{x^2 + 1}\right)^x \overset{\infty}{\approx} \lim_{x\to\infty} \left[1 + x - \left(x + \frac{1}{2x}\right)\right]^x \overset{\infty}{\approx} \lim_{x\to\infty} \left(1 - \frac{1}{2x}\right)^x =\]
\[= \lim_{x\to\infty} e^{x\ln{\left(1 - \frac{1}{2x}\right)}} \overset{\infty}{\approx} \lim_{x\to\infty} e^{-\frac{1}{2x} \cdot x} = \frac{1}{\sqrt{e}}\,.\]
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Livello 5
LIM((1 + (x - √(x^2 + 1)))^x= e^(-1/2)=1/√e
x-->+∞
Razionalizziamo la parte variabile in rosso:
(x - √(x^2 + 1))·(x + √(x^2 + 1))/(x + √(x^2 + 1))=
=(-1)/(x + √(x^2 + 1))=-1/(2x) per x-->+∞
Il limite diventa:
LIM((1 -1/(2x))^x = e^(-1/(2))
x--->+∞
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Genius II