Limite

con Taylor

⊳ Numeratore

• $ \sqrt{4+x^2} = 2 + \frac{x^2}{4} - \frac{x^4}{64} + o(x^4) $
• $ \sqrt[3]{8+3x^2} = 2 + \frac{x^2}{4} - \frac{x^4}{32} + o(x^4) $

Numeratore $ = \frac{x^4}{64} + o(x^4) $

⊳ Denominatore

• $ sin 2x = 2x-\frac{4}{3}x^3 + o(x^4) $
• $ cos(2x+2x^2) = 1 - 2x-4x^3 + o(x^4) $
• $ e^{3x^4} = 1 + 3x^4 + o(x^4) $

Denominatore $= -\frac{16}{3}x^3 - 3x^4 + o(x^4) $

Passando al limite, formandoci agli infinitesimi del terzo ordine

$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac {0}{-\frac{16}{3}x^3} = 0 $

Se quest'ultimo passaggio ti lascia perplessa calcoliamo un limite analogo al nostro fermandoci agli infinitesimi del 4° ordine.

$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac {x^4}{x^3 + x^4} = \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac {x}{1 + x} = 0 $